FOCALES DES COU UB ES PLANES KT GAUCHES. 9 



des centres de projection pour lesquels la projection d' de la courbe 

 d sur le plan V est tangente à la conique <:,, consiste en la dé- 

 veloppable O et en le plan sr. 



CHAPITRE II. 



Focales des courbes planes. 



§ 8. Des foyers conjugués. Soit la courbe donnée d une courbe 

 plane, située dans un plan W. Soit la droite z La droite d'inter- 

 section des plans W et V. Soient I et J les points d'intersection 

 de la droite z avec la conique r , située dans le plan V. Soit c' 2 

 la projection de la conique e 2 sur le plan W, le centre de pro- 

 jection étant un foyer F de la courbe d, alors la conique c'a 

 pass* ra par les points 7" et ƒ et sera bi tangente à la courbe d. 

 Soit située dans le plan W une conique c" 2 , qui passe par les 

 deux points I et J et qui est bitangente à la courbe d. Les deux 

 coniques c 2 et c" 2 forment une courbe du quatrième degré, qui 

 est la courbe de base d'un faisceau de surfaces du second ordre. 

 Parmi ces surfaces du second ordre se trouvent deux runes. Cha- 

 cun de ces deux cônes passe par la conique c" 2 et par conséquent 

 chacun d'eux est bitangent à la courbe d; ils passent par la coni- 

 que c 2 , donc le sommet de chacun de ces cônes est un foyer de 

 la courbe d. A une conique c" 2 il correspond , par conséquent , 

 deux foyers F x et F 2 de la courbe donnée d. Ces deux foyers 

 seront dits conjugués. 



Théorème. Deux foyers conjugués F x et F 2 sont en ligne droite 

 avec un point fixe Z du plan /', ce point Z étant le pôle de la 

 droite z relative à la conique e 2 . 



Démonstration. Le plan b\ , déterminé par les deux tangentes 

 aux coniques c 9 et c" 2 en le point commun I est un plan tangent 

 à toutes les surfaces du second ordre du faisceau déterminé par 

 les deux coniques e 2 et c" 2 . Un plan tangent d'un cône devant 

 passe par le sommet du cône, ce plan t 1 passera par les deux 

 sommets F x et F 2 . 



11 en est de même, pour le plan t.,, déterminé par les deux 

 tangentes aux coniques r„ et c"„ en le deuxième point commun •/. 

 Les deux sommets seront donc situés sur la droite d'intersection 

 de ces deux plans ir, cette droite d'intersection passe par le point 

 d'intersection Z des deux tangentes a la conique r.> en les deux 



