] FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



point s T et J. Le point if est le pôle de la droite//, ou ce qui 

 revient au même de la droite z, relative à la conique c„- 



Faisons passer un plan quelconque rr par les deux foyers con- 

 jugués F l et F 2 ; dans ce plan se trouveront deux génératrices de 

 chacun des deux cônes (F { e 2 ) ut (F 2 c, 2 ). 



Ces quatre génératrices formeront un quadrilatère complet, dont 

 la droite F. F 2 et les deux droites d'intersection du plan tt avec 

 les plans V et W seront les diagonales. Il en résulte que les 

 deux foyers conjugués F x et F 2 et les points d'intersection de la 

 droite F l F 2 avec les plans V et W , forment un système harmonique. 



Si la conique c 2 est remplacée par le cercle imaginaire de 

 l'infini, le point Z sera la direction normale au plan W et on 

 retrouve le résultat connu, que pour une courbe plane, le plan 

 de cette courbe est un plan de symétrie de la courbe focale. 



Par conséquent, si la courbe d possède des focales planes, le plan 

 d'une quelconque ƒ' de ces focales sera perpendiculaire sur le plan 

 de symétrie W et la droite d'intersection sera un axe de symétrie 

 de cette focale f', ou si le plan d'une focale f' n'est pas perpen- 

 diculaire sur le plan W, il faut qu'il existe une seconde focale 

 plane, qui est la figure symétrique de la focale ƒ", par rapport 

 au plan W. (§ 70). 



De la réciprocité entre les courbes d et ƒ ' (§ 5) il s'ensuit que 

 la droite d'intersection du plan W avec le plan de la focale /" 

 est un axe de symétrie des deux courbes d et f'. 



La projection de la focale sur le plan IF, du point Z comme 

 centre de projection, sera une courbe dont le degré est la moitié 

 du degré de la focale. Le point, où la droite Z F X F 2 rencontre 

 le plan W, est le point d'intersection des tangentes à la conique 

 c"o en les points I et J, donc la projection de la focale sur le 

 plan W , le point Z étant le centre de projection est le lieu des 

 pôles de la droite z t par rapport aux coniques c" 2 . 



Si la conique c 9 est remplacée par le cercle imaginaire de l'in- 

 fini, les coniques c" 2 seront des cercles bitangents à la courbe d, 

 et la projection orthogonale de la focale sur le plan W sera, le 

 lieu des centres des cercles bitangents à la courbe d. 



Le cilindre projetant de la focale est le lieu des centres des 

 sphères bitangentes à la courbe d. 



Soit e'o une conique passant par les points f et J et tangente 

 à la courbe d en les points II et Il . Soient F { et F 2 les deux 

 loyers conjugués, correspondant à, la COniqe r.,. Les deux droites 



7'j A' et F ] Il seront deux génératrices / de la développable O 



