FOCALES DES COUEBES PLANES ET GAI (JIKS. 1 1 



et les plans tangents à la développante, le long de ces généra- 

 trices /', E et, F x 72', seront des plans, déterminés par ces droites 

 et les tangentes à la conique c' 2 en les points II et R' . La droite 

 d'intersection de ces deux plans, tangents aux deux nappes de la 

 développable O qui passent par le point F* , sera la tangente a la 

 focale au point 1 1 \. Par conséquent, la tangente à la focale en le 

 point 7<j coupe le plan W dans le point d'intersection des deux 

 droites tangentes à la conique c' 2 en les points R et R' . Il en est 

 de même, pour la tangente à la focale en le point F n , ce qui 

 donne le théorème: Les tangentes à la focale dans deux points 

 conjugués 1<\ et F 2 se rencontrent dans un point du plan W. 



Si, donc, on considère la surface développable engendrée par 

 les tangentes /• à la. focale, cette développable aura une courbe 

 nodale plane, située dans le plan W, et deux plans oscillateurs à 

 la focale en deux foyers conjugués, se coupent suivent une tan- 

 gente à cette courbe nodale. 



§ 9. Des interrections de ht focile arec le /il un W. Si de deux 

 foyers conjugués F x et F.,, l'un s'approche du plan IF, l'autre fera 

 de même. Si le foyer F, arrive dans le plan //", il coïncide avec 

 le point Fa et la sécante Z F.Fa de la focale devient une tangente. 

 Excepté au cas, que ce point d'intersection du plan W avec la 

 locale, soit un point double de la focale; ce qui donne le théorème: 



Les tangentes à la focale en ses points d'intersection avec- le 

 plan W passent par le point fixe Z, pourvu que ces points soient 

 des points ordinaires de la focale. 



Soit F.^ un point ordinaire de la focale situé dans le plan //'. 

 et /<!_, un foyer infiniment voisin, alors la droite Z l\, rencontra la 

 focale encore une fois dans le foyer l'\ conjugué' du foyer F.,. 



Le plan déterminé par les droites Z F A et Z /\/\ 2 aura, de 

 commun avec la focale quatre points consécutifs, savoir: deux sur 

 la tangente et deux sur la sécante. Ce plan sera donc un plan 

 stationnaire a de la focale; d'où le théorème: 



Les points d'intersections de la focale d'une courbe plane G? avec 

 le plan W de cette courbe c/ sont des points doubles ou des points a. 



11 en résulte, que pourqu' une courbe /' soit la focale d'une 

 courbe plane il est indispendable qu'il existe un plan, qui coupe 

 la courbe ƒ seulement en des points a ou en des points doubles 

 (des noeuds ou des points stationnaires). 



§ 10. De la symétrie de lu courbe a. Considérons dans le plan 

 //' une conique c 2 , passant par les points / et J et ayant un 



