12 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



contact d'ordre deux avec le courbe d, on trouve par un raisonne- 

 ment analogue à celui du § 8, que les sommets des deux: cônes 

 du second degré, qui passent par les deux coniques c 2 et c' 2 sont 

 des points E x et E 2 de l'arête de rebroussement. On démontre 

 facilement les théorèmes suivants. 



1° Les deux points E l et E 2 , correspondants à une conique 

 c 2 , sont en ligne droite avec le point Z; ce point Z et le plan 

 W sont en proportion harmonique, par rapport aux points A\ et E 2 , 



2°. Les tangentes à l'arête de rebroussement a en les deux 

 points JEJ 1 et E 2 se rencontrent dans un point du plan W. 



3°. Les plans oscillateurs o en les deux points E 1 et E 2 se 

 coupent suivant une droite située dans le plan W. 



4°. La section de la développable O par le plan W consiste en 

 une courbe double et en des génératrices /. 



5°. Les points où la courbe a rencontre le plan W sont des 

 points a., des points stationn aires /3 ou des noeuds H de la courbe a. 



6°. Si l'on remplace la conique c 2 par le cercle imaginaire de 

 l'infini, le plan W est un plan de symétrie de la courbe a et de 

 la développable 0. 



Supposons qu'il existe dans le plan W une droite p et un point 

 Z' , qui possèdent la propriété qu' une droite quelconque passant par 

 le point Z' rencontre la droite p dans un point P i et la courbe d 

 dans des couples de points Q t Q t ' , les points d'un couple étant 

 conjugués harmoniques par rapport aux points Z' et P,-. Supposons 

 encore que le point Z' se trouve sur la droite z et que la polaire 

 z' du point Z' , par rapport à la conique c 2 rencontre la droite p. 

 Le plan (p z') et le point Z' sont alors en proportion harmonique 

 avec chaque couple de points Q t Q- et avec chaque couple de 

 points ]?„]{,', intersections de la conique c„ avec une droite quel- 

 conque passant par le point Z'. Si un plan o touche la conique 

 c 2 et la courbe d respectivement dans les points 11-, et Q,, les points 

 B 'j et Q'j seront les points de contact d'un autre plan o et les 

 •droites {R- t Q^{B' i Q' ( ) seront des droites l et se rencontrent dans 

 un point du plan {p z). Par conséquent, dans le plan (p z') se 

 trouve une courbe nodale de la surface 0, qui est une focale de 

 la courbe d. 



Si maintenant on remplace la conique e 2 par le cercle imagi- 

 naire de l'infini on obtient le théorème connu: 



Si une courbe d possède un axe de symétrie p , la courbe aura 

 une focale /*' située dans un plan perpendiculaire sur le plan de 

 la courbe et passant par la droite j»; cette droite/» est un axe de 



