FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 15 



il faudrait que le plan a. coïncide avec le plan II'. Or, une coni- 

 que ne présentant pas cette singularité et son plan n'étant pas un 

 plan o, deux plans consécutifs ne coïncident pas. 

 Donc : a. = o. 



§ 14. Détermination de IL: nombre des noeuds de l'arête de 

 rebroussement. 



Si l'on projette, d'un noeud IL de l'arête de rebroussement a, 

 comme centre de projection, la conique d 2 sur le plan V la pro- 

 jection d 2 ' devrait avoir avec la conique c 2 , dans deux points dis- 

 tincts, un contact de l'ordre deux. Les coniques d' 2 et c 2 auraient 

 alors six points communs, donc elles devraient coïncider. Comme 

 les deux coniques c 2 et d 2 coupent la droite d'intersection z des plans 

 V et W dans des points distincts, les coniques d' 2 et c 2 ne pour- 

 ront pas coïncider, par conséquent, il ne peut pas exister de point 

 II; donc: 11= o. 



§ 15. Détermination de G: nombre de plans doubles de la dé- 

 veloppable O. 



Pour obtenir un plan G, il faut que deux plans o, non consé- 

 cutifs, coïncident. Deux plans o tangents à la conique e 2 en les 

 points P et Q ne peuvent jamais coïncider, les tangentes à la 

 conique c 2 en ces points P et Q ne coïncident pas, excepté le 

 cas, où le plan V soit un plan o, ce qu'il n'est pas. 



Si donc deux plans o coïncident, ces plans devront passer par 

 une même tangente à la conique c 2 . 



Par le point P l , où la droite t est tangente à la conique c 2 , 

 il passe deux génératrices l x et / 2 . Les plans (t /,) et (/ /.,) 

 seront les deux plans o qui passent par la tangente /; si ces deux 

 plans coïncident, les deux tangentes à la conique d 2 , en les points, 

 où cette conique rencontre les droites I x et t 2 , devront coïncider. 

 Comme il n'existe pas de droite bitangente à une conique, les deux 

 plans o, passant par la droite /, ne pourront coïncider. Il n'est 

 pas nécessaire que les deux tangentes à la courbe o? coïncident, on 

 que la courbe d possède une bitangente, si le plan G coïncide 

 avec le plan W. Comme le plan W n'est pas un plan o ce plan 

 W ne peut pas être un plan G. 



11 se peut encore que les deux tangentes à la courbe d en les 

 points où elle rencontre les droites /, et /., coïncident si ces deux 

 droites passent par le même point de la courbe d. Le point de 

 rencontre des droites /, et t étant le point /■*, , il faudrait que la 

 courbe d passe par le point l\ , ou bien il faudrait que les courbes 



