18 FOCALES DES COUHBES PLANES ET GAUCHES. 



courbe d 2 . On obtient les deux points Q, et Q 2 de la conique 

 d 2 , par lesquels passent les deux droites / qui se rencontrent au 

 point P de la conique c 2 de la manière suivante. Soit M le point 

 où la tangente à la conique c 2 en le point P rencontre la droite 

 d'intersection g des plans V et W. Si l'on mène de ce point R 

 les deux tangentes à la courbe d 2 , les deux points de contact sont 

 les points Q x et Q 2 . Ces deux points coïncident uniquement si 

 le point B est sur la conique d 2 , donc si le point R coïncide avec 

 un des deux poits A ; alors le point P coïncide avec un des quatre 

 points /S". Donc, les seuls points, où l'arête de rebroussement a 

 rencontre le plan V ', sont les quatre points S, qui , par conséquent 

 doivent compter pour trois intersections chacun. Au paragraphe 

 précédent nous avons trouvé, que ces points comptent pour deux 

 intersections chacun. 



§ 20. Pour enlever cette contradiction, remarquons qu' un point 

 S pourrait encore compter pour trois intersections de la courbe a 

 avec le plan V , sans être un point, où le plan V est oscillateur, 

 si ce point 8 est un point double de l'arête de rebroussement a. 

 Un point double de l'arête de rebroussement est, de la dévelop- 

 pable 0, un point multiple de l'ordre trois ou quatre, selon que 

 le point double de l'arête de rebroussement est un point station- 

 naire /3 ou un noeud //. Les points >S devront donc être des points 

 multiples de l'ordre trois ou quatre de la surface 0. Tous les 

 points de la conique c 2 , étant des points doubles, il faut chercher, 

 s'il y a sur la conique c 2 des points singuliers d'une multiplicité 

 plus grande. Par chaque point de la conique c 2 , il passe deux 

 génératrices l x et l 2 ; par un point singulier fif, il passe encore 

 une troisième génératrice / 3 . Cette génératrice / ;j appartient à un 

 autre, point de la conique c 2 , donc elle doit être située dans le 

 plan V. Les seules droites /, situées dans le plan V sont les 

 quatre droites /,, , qui sont tangentes à la conique c 2 en les quatre 

 points S. Une droite /,, , étant tangente à la conique c 2 en le 

 point S, passe encore par un point infiniment voisin du point S. 

 Par ce point infiniment voisin du point 8, il passe, par conséquent, 

 trois droites /, donc ce point infiniment voisin du point S est un 

 point singulier sur la conique <- 2 . 



On peut s'assurer d'une autre manière que les points S sont 

 des points triples de la surface 0. En effet, par un point 8, il 

 passe trois branches de la courbe d'insection de la surface avec 

 le plan V, savoir la conique c 2 , qu'il faut compter double et la 

 droite /,,. Le plan /', n'étant pas un plan o, n'est pas tangent à 



