FOCALES DES COUEBES PLANES ET GAUCHES. 19 



une des nappes de la surface 0, qui passent par le point S, par 

 conséquent, les trois branches d'intersection proviennent de trois 

 nappes différentes de la surface 0. Par le point 8 il passe, par 

 conséquent, trois nappes de la développable 0, ou bien le point 

 S est un point triple de la surface 0. 



§ 21. Pour démontrer qu'an point S est un point stationnaire 

 /3 de l'arête de rebroussement a, remarquons que la droite /,., qui 

 est tangente à la conique c 2 en le point 8, rencontre la courbe 

 </ 2 , donc elle rencontre deux tangentes consécutives à la conique 

 d 2 . Par conséquent, par la droite l il passe deux plans tangents 

 aux deux coniques c 2 et d, à la fois, ou par la droite /,. il passe 

 deux plans o consécutifs. Soit / une tangente à la conique c, infi- 

 niment voisine de la tangente /,, , cette tangente rencontre deux 

 tangentes à la conique d z , qui sont infiniment voisines des deux 

 tangentes à la conique d, , qui rencontrent la droite /,,. Par la tan- 

 gente f il passe, par conséquent, deux plans o encore. Par le point 

 d'intersection des droites /„ et /, il passe, par conséquent, quatre 

 plans o, qui passent par quatre tangentes consécutives à laconique 

 (/., et par deux tangentes consécutives a la conique <:,, lesquels 

 seront donc quatre plans o consécutifs. La limite vers laquelle 

 tend le point d'intersection des droites / et /„, si la droite / s'ap- 

 proche de la droite /,,, est le point 8, donc le point 8 est un 

 point stationnaire /3. 



Un point 8 étant un point stationnaire /3 de la courbe a , et \& 

 tangente /,, à la cou be a, en ce point 8 étant située dans le plan 

 V , un point /S compte pour trois intersections de la courbe a avec 

 le plan V. Comme il y a quatre points 8, la courbe a rencontre 

 le plan /' dans douze points. 



On démontre de la. même manière que les douze points d'inter- 

 section de l'arête de rebroussement n avec le plan //', seront les 

 quatre points de contact des droites /„. avec la conique </.,, qui 

 sont également des points stationnaires (2 et qui comptent chacun 

 pour trois intersections. 



11 est facile de voir, qu'on démontre de la même manière le 

 théorème général. 



Si une tangente à l'une des courbes d ou c 2 rencontre l'autre 

 courbe, cette tangente sera une génératrice / et le point de contact 

 est un point stationnaire de l'arête de rebroussement a. 



§ 22. La focale ne décompose en deuw coniques, x étant huit (§ 1 8) 



