20 FOCALES DES COUEBES PLANES ET GAUCHES. 



la courbe nodale est une courbe du degré huit. Les deux coniques 

 c 2 et d 2 faisant partie de la courbe nodale, il reste quatre pour le 

 degré de la courbe focale. R étant huit, le rang de la courbe 

 nodale est huit, le rang de chacune des deux coniques nodales c 2 

 et d 2 , étant deux, il reste quatre pour le rang de la courbe focale. 



Il n'existe pas de courbe gauche du quatrième degré, dont le 

 rang soit quatre, donc la focale ƒ doit se décomposer ou être une 

 courbe plane. 



La focale ƒ doit rencontrer le plan V dans quatre points; ces 

 points seront des noeuds de la courbe d'intersection du plan V 

 avec la surface O et inversement tous les points doubles de la 

 courbe d'intersection seront des points des courbes doubles de la 

 développable 0, le plan de section V n'étant pas un plan tangent 

 o de la surface 0. 



La courbe d'intersection consiste en la conique c 2 et en les 

 quatre droites l v . Les quatre droites /,, se rencontrent dans six 

 points; deux de ces six points sont les deux points A situés sur 

 la conique d 2 , les quatre autres points d'intersection seront sur 

 la focale. Les points S sont encore des points multiples de la 

 section, mais ces points multiples sont situés sur la courbe a. Le 

 plan V coupe, par conséquent, la focale dans quatre points, qui 

 doivent compter, pour une intersection chacune, la tangente à la 

 focale en un de ces points, étant la droite d'intersection des deux 

 plans o qui passent par les deux droites /,, , dont ce point est l'in- 

 tersection. Cette tangente n'est pas située dans le plan V donc le 

 focale coupe le plan V et n'est pas tangente au plan V. Ces quatre 

 points sont des points ordinaires de la focale puisque par chaque 

 point il ne passe que deux nappes de la surface O qui ne se 

 touchent pas. 



De même la focale coupe le plan W dans quatre points, qui 

 sont des points ordinaires de la focale, savoir les quatre points, 

 où les deux droites /,„ qui passent par le point I rencontrent les 

 deux autres passant par le point J. Ces quatre points étant des 

 points ordinaires de la focale sont des points a_ ($9); par consé- 

 quent, la focale ƒ ne saurait se décomposer en une droite et une 

 cubique gauche; elle ne saurait se décomposer non plus en une 

 droite et une cubique plane, puisque des quatre points d'intersec- 

 tion des quatre droites /,,, jamais trois ne seront en ligne droite; 

 à plus forte raison la focale ne peut pas être une courbe plane du 

 quatrième degré. 



L'unique possibilité qui reste est que la focale se décompose en 

 deux coniques, dont aucune se décompose en deux droites, puisque 



