FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 21 



les seuls droites qui sont situées sur une surface developpable O 

 sont les génératrices et la surface O ne possède pas des génératri- 

 ces doubles puisque w = 0. 



§ 23. Que la focale consiste en deux coniques, se démontre 

 encore de la manière suivante. Considérons une conique c'a située 

 dans le plan W , passant par les deux points I et ./ et qui est 

 doublement tangente à la conique d 2 . Les deux coniques d 2 et c' 2 

 déterminent un faisceau de coniques, les points d'intersection des coniques 

 de ce faisceau, avec le droite z forment une involution , dont les points 

 A i , A 2 et I, J sont deux couples de points. La corde de contact 

 des deux coniques comptée deux fois, est une conique du faisceau; 

 cette conique coupe la droite z dans deux points coïncidents, par 

 conséquent, cette corde de contact passe par un des deux points 

 doubles D et D' de l'involution. Par conséquent, il y aura deux 

 séries de coniques c' 2 , pour les coniques de l'une des deux -/-lies. 

 la corde de contact avec la conique d 2 , passe; par le point D, 

 pour ce qui est des coniques de l'autre série la corde de contact 

 passe par le point D' . Les points I) et D' forment un système 

 harmonique avec les points / et /, de même qu'avec les points 

 A x et A 2 . 



Le plan % déterminé par les droites polaires du pôle D, par 

 rapport aux coniques c 2 et c' 2 est le plan polaire du pôle I) par 

 rapport à toutes les surfaces du second degré, qui passent par ces 

 deux coniques. Par conséquent, ce plan t passe par les sommets 

 F, et F 2 , des deux cônes de ce faisceau de surfaces du second 

 degré, il en résulte que la droite Z F 1 F 2 rencontre la polaire d 

 du point 1) par rapport à la conique c ' 2 . Cette droite d coïncide 

 avec la polaire du pôle D par rapport à la conique d 2 ; dom; la 

 droite Z F l F, rencontre la polaire d du point D par rapport à la 

 conique d 2 . Ou bien les foyers correspondant aux coniques c' 2 , 

 pour lesquelles la corde de contact passe par le point J), sont 

 situés dans un plan {Z d); ce plan passe par le point D'. 



Le lieu des foyers, situés dans ce plan est une conique, toute 

 droite passant par le point Z coupant ce lieu en deux points, et 

 ce point iT n'étant pas lui même un foyer. 



Par conséquent, la focale consiste en deux coniques, l'une située 

 dans le plan (Zd), l'autre, dans le plan {Zd')\ d' étant la 

 polaire du point // par rapport à la conique '/.,. 



§ 24. Une troisième manière de démontrer que la focale /' 

 consiste en deux coniques, est la suivante. Par un point quel- 



