22 FOCALES DES COUKBES PLANES ET GAUCHES. 



conque E de la droite z on peut mener deux droites tangentes à 

 la conique c 2 en les points P 1 et P 2 , ainsi que deux droites tan- 

 gentes a la conique d 2 en les points Q 1 et Q 2 . 



Les quatre droites P x Q l , P 1 Q 2 , P 2 Q { , P 2 Q 2 , seront des 

 droites /. En général, ces quatre droites / ne seront pas dans un 

 môme plan. Ces quatre droites / seront dans un même plan si les 

 deux cordes de contact P 1 P 2 et Q l Q 2 se rencontrent. Pour cela, 

 il faut que les deux cordes de contact passent par un même point 

 de la droite z. Pour que cela arrive, la condition nécessaire et 

 suffisante est que le point E soit le conjugué harmonique du même 

 point par rapport aux deux couples de points I, J et A x , A 2 . 



Il faut donc que le point E soit un des points dubles D ou D' 

 de l'involution, déterminée par les deux couples de points I, J 

 et A x , A 2 . 



Menons par le point D les droites tangentes aux coniques c 2 et 

 d 2 en les points P x , P 2 et Q x , Q 2 . Les droites P x P 2 et Q { Q 2 

 passent par le point D' ; le plan (Pj P 2 Q x Q 2 ) = tt est un 

 plan dans lequel se trouvent quatre droites /, savoir P x Q x , 

 Pj Q 2 , P 2 Q x , P 2 Q 2 . Ces quatre droites se coupent en six 

 points, savoir les points P t , P 2 , Q x , Q 2 et deux autres Pj , B 2 . 

 Les points Pj, P 2 sont des points de la focale ƒ puisque par chacun 

 d'eux il passe deux droites /. Sur la droite P l P 2 se trouvent deux 

 points où se rencontrent deux droites l v , sur la droite Q x Q 2 se 

 trouvent deux points de rencontre de deux droites /,„. Dans ce 

 plan t se trouvent, par conséquent, six points de la focale. De 

 même , dans le plan t' , déterminé par les polaires du point D', 

 par rapport, aux coniques d 2 et c 2 , se trouvent six foyers. La 

 focale ƒ qui est du degré quatre doit donc se composer de deux 

 courbes planes, qui seront des coniques, tout ce qu'on peut démon- 

 trer du plan t étant encore vrai pour le plan ne' . 



11 se voit aisément que les quatre pians V, W , tt et t' for- 

 ment un tétraèdre, que dans chaque face de ce tétraèdre se trouve 

 une conique nodale de la surface et que les trois arêtes dans 

 chaque face forment un triangle autopolaire par rapport à la coni- 

 que dans cette face. Si on remplace la conique c 2 par le cercle 

 imaginaire de l'infini, les deux plans tt et t' seront les deux plans 

 de symétrie de La conique d 2 . 



§ 25. Les polaires réciproques des deux coniques c 2 et da sont 

 deux cônes C 2 et D 2 , la polaire réciproque de la développable 0, 



lieu des plans tangents aux coniques c, et d-, à la fois, est la 

 courbe d'intersection c 4 des deux cônes, l'ar cette courbe d'inter- 



