24 FOCALES DES COUKBES PLANES ET GAUCHES. 



L'intersection de la développable O avec le plan W consiste en 

 la conique d 2 , qui doit compter double , comme elle est une courbe 

 nodale et en deux droites /„,, savoir les deux tangentes, autres que 

 la droite z, qu'on peut mener à la conique d 2 des points / et /. 

 La section est encore du degré 2 X 2 -f 2 X 1 = 6. 



On trouve facilement les valeurs suivantes: 



m = 4, a = 0, v= 0, w = 0, 0=1, 

 et on en déduit au moyen des formules de Caytey-Ptilcher. 

 g = 2, h, = 6, y = 6, /3 = 4, ?* = 6, x = 4, p —■ Q. 



Les points d'intersection de l'arête de rebroussement a avec le 

 plan V sont les deux points S qui comptent chacun pour trois, 

 le plan oscillateur o en un point 8 étant le plan V. 



Les points d'intersection du plan W avec l'arête de rebrousse- 

 ment a sont les deux points de contact des deux droites /„, avec 

 la conique d 2 . Ces points sont des points station naires, dont la 

 tangente est dans le plan W, par conséquent, ils comptent pour 

 trois intersections chacun. (§ 21). 



x = 4. La courbe nodale est de l'ordre quatre, la conique d 2 

 en fait partie, par conséquent le degré de la focale est deux. La 

 focale ƒ doit rencontrer le plan W dans deux points, ces points, 

 de rencontre sont: le point d'intersection des deux droites /„, , 

 et le point A. Le point A est situé sur la focale, parce que 

 le point A est le point de contact des deux nappes de la surface 

 O qui sont tangentes au plan V le long des deux droites /„. 

 Ce point A est, par conséquent, un noeud de la courbe nodale. 

 Par le point A doivent passer deux branches de la courbe nodale, 

 l'une est la courbe d„ , l'autre branche doit faire partie de la 

 focale. Les tangentes aux deux branches de la courbe nodale, sont 

 situées dans le plan tangent commun des deux nappes de la sur- 

 face 0. Par conséquent, la focale est tangente au plan V en le 

 point A. 



Par conséquent: la focale d'une parabole est une parabole. 



§ 27. La conique d 2 est, tangente a a plan V en te point I. 

 Si le point de contact A (§20) est extérieur à la conique c 2 les 

 deux droites /,, sont réelles et le plan V est un plan bitangent 

 proprement dit. Si le point de contact A est intérieur à la co- 

 nique c 2 les deux droites de contact /,, sont imaginaires; donc le 

 plan bitangent V est un plan double isolé. 



