26 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



conique d 2 devient imaginaire. Pour les focales des courbes réelles 

 ce cas est dénué d'intérêt. 



Je ne le considère que, parce que nous avons vu au §16 

 qu'une tangente commune pourrait être une droite d'inflexion V 

 de la surface 0. 



Tout plan passant par la droite z est un plan o, donc la droite 

 z est une droite singulière /, mais la droite z n'est pas une géné- 

 ratrice de la surface 0, ainsi qu'on peut le voir en déterminant 

 les droites / qui passent par un point infiniment voisin d'un des 

 points 7 ou A. 



La section de la surface O par le plan V consiste en la conique 

 c 2 , qui est une courbe simple et en la droite l , qui est une tan- 

 gente à la courbe c 2 qu'on peut mener par le point A. Le plan 



V est tangent à la développable O le long de cette droite l v ; donc 

 cette droite doit compter double. La section de la développable O 

 par le plan W consiste en la conique d 2 , qui est une courbe simple 

 et en la tangente /,„ à la conique d 2 , qui passe par le point I et 

 qui est nue droite de contact. Les deux sections étant du degré 

 quatre: r = 4. 



On trouve u = 3; donc la surface O est une développable dont 

 l'arête de rebroussement est une cubique gauche. 



Cette développable ne présentant pas de courbe nodale, il n'y a 

 pas de focale non plus; résultat qui était à prévoir puisque les 

 coniques d' 2 et c 2 avant toujours la tangente commune z, elles ne 

 pourront plus être bitangentes. 



§ 29. Supposons que ta conique </., passe par les deux /mint* 

 T cl J de la conique <\,. La section de la surface O par le plan 



V est la conique c 2 , qui est une courbe nodale. 



La section de la surface O par le plan W est la conique c/„ , 

 qui est encore une courbe nodale. Les deux sections étant du 

 degré quatre: r = 4. 



On trouve facilement: 



m = 4, et = , v = , co = , G = 2. 



Les plans tangents aux deux coniques en les points / et ./sont 

 des plans bitangcnls. En effet, si l'on mène d'un point li de la 

 droite z les deux droites tangentes à la conique c 2 en les points 

 Qi et Qo, et les deux droites tangentes à laconique </., en les points 

 /', et P 2 , les deux cordes de contact J\ /\, et Qj (l, passeront 

 par le point de la droite z, qui est en proportion harmonique avec 

 le point II par rapport aux points / et -/. Par conséquent, ces 



