FOCALES PES COURBES PLANES ET GAUCHES. 27 



quatre points P x , P 2 , Q x , (l ? , sont dans un plan. Il en est de 

 même des quatre droites /, l\ Q x , P x Q., , P 2 Q x , P 2 Q.,. 



Si le point li coïncide avec le point I, les deux cordes de con- 

 tact deviendront les deux tangentes en T , et les quatre droites / 

 coïncident deux à deux, la droite P x Q x avec la droite P., (J.,, 

 et la droite P x Q 2 avec la droite P„ Q x . Dans le plan tangent aux 

 deux coniques en le point I se trouvent, par conséquent, deux 

 droites / le long desquelles ce plan est tangent à la développable, 

 ou bien, ce plan est un plan bitangent. 11 en est de même pour 

 le plan tangent aux deux coniques c 2 et d., en le point J. 



Pour les autres singularités on trouve les valeurs suivantes: 



g = 2 , n = 0, x = 4, y = 0, /3 = - - 8, h -f- E = 10, p = 1 . 



n, = 0, donc, il n'y a pas d'arête de rebrousse in en t. 



Les formules de Vlùcker appliquées à la projection de l'arête de 

 rebroussement n'ont plus aucune signification; donc; les singulari- 

 tés qu'on tire de ces formules n'ont plus aucune valeur. Les va- 

 leurs des singularités qu'on détermine en appliquant à une section 

 plane de la surface 0, les formules de Pliicker sont bonnes. Donc 

 les valeurs 



g = 2 , 91= 0, x = 4 , p = — 1 , 



subsistent: il s'ensuit que la surface O se décompose en deux cônes 

 du second degré, et qu'il n'y a pas de focale. Cependant, il y a 

 une focale, savoir, la droite d'intersection des deux plans tangents 

 aux deux coniques en les points T et /. Sur cette droite se trou- 

 vent encore deux foyers singuliers savoir les deux sommets des cones 

 qui forment ensemble la surface 0, 



Si les deux points de rencontre T et J coïncident, la surface 

 O est un cône du second degré et tous les points de ce cône sont 

 des foyers. 



CHAPITTRE IV. 



FOCALE DE r,A CUBIQUE PLANE SANS POINTS SINGULIERS. 



§ 30. Des intersections de la surface O avec les plans I' et W. 



Soit la courbe <l une cubique plane d 3 sans points singuliers, 

 située dans le plan W. Les points de rencontre A 1 , A 9 et A* 



