28 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



avec le plan V sont des points ordinaires de la courbe d 3 et ne 

 coïncident pas avec les points d'intersection I et J de la conique 

 c 2 avec le plan W. Le plan V n'est pas tangent à la courbe d 3 

 et, par conséquent, ce n'est pas un plan o. 



L'intersection de la surface O par le plan W consiste en la 

 cubique d 3 , qui est une courbe nodale de la surface O et en les 

 douze droites l w , qui sont les tangentes, qu'on peut mener des 

 points I et J , à la courbe d 3 . La section est du degré 2 X ^ -\- 



12X1 = 18. 



La section de la surface O par le plan V , consiste en la co- 

 nique c 2 , qui est une courbe sextuple, quisque par chaque point 

 P de la conique c 2 il passe six droites /. En effet, soit R le point 

 où la tangente à la conique c 2 en le point P rencontre la droite 

 z, l'intersection des plans V et W. Du point R on peut mener 

 six tangentes à la conique d 3 . Soient les points de contact les 

 points Qj, Q 2 , Q 3 ■ ■ ■ Q 6 ; les droites PQ X , PQ 2 . . . , PQ % sont 

 les droites / qui passent par le point P. Dans le plan V se trou- 

 vent encore six droites l u , savoir les droites, tangentes à la conique 

 c 2 , qu'on peut mener par les points J 1} A 2 et A 3 . La section est 

 encore du degré 6 X 2 -f X 1 = 18; donc: r = 18. 



\ 31. Détermination des quantités m et a. La projection d' 3 

 de la courbe d 3 sur le plan V, étant de la sixième classe, il y a 

 douze tangentes communes aux courbes d' 3 et c 2 ; donc: m = 12. (§ 12). 



Nous avons vu au § 6 que les points a sont tous situés dans 

 le plan V '. Les points a, sont des points de l'arête de rebroussc- 

 ment a et seront donc parmi les points de la courbe a situés sur 

 la section de la surface O par le plan V. Ces points sont ceux, 

 où les droites /„ touchent la courbe a; on sait que ces points de 

 contact sont les points S, où les droites l v sont tangentes à la 

 conique c 2 , et que sur l'arête de rebroussement ce sont des points 

 stationnaires /3 et non pas des points a (§§ 19, 20, 21). 11 reste 

 à voir, si parmi les autres points de la courbe a, situés sur la 

 conique c 2 , il y en ait encore, qui soient des points a. 



Un point P de la conique c 2 sera un point de l'arête de rebrous- 

 sement a, si parmi les six droites /, qui passent par ce point P, 

 il y a doux consécutives. Pourque cela se fasse, il faut que des 

 six points Q (§30) deux soient consécutifs. Les six points Qsont 

 les points de contact des tangentes qu'on peut mener à la courbe 

 do par le point R. Deux de ces points de contact coïncident: 1° 

 si le point II se trouve sur la courbe d 3 et en ce cas le point P 

 est un point /S; 2° si le point R se trouve sur une des neuf tan- 



