FOCALES DKS COUKBES PLANES ET GAUCHES. 81 



section de la courbe a avec le plan W sont les douze points où 

 les tangentes /„, ([iron peut mener à la courbe d s des points / et 

 J, touchent la courbe d*. Ces [joints sont des points stationnaires 

 /3 (§21) de l'arête de rebrousse ment a et les tangentes en ces points 

 à la courbe a étant les droites /„, , chaque point de contact compte 

 poui' trois intersections; ce qui donne 12 X 3 = 30 points com- 

 muns de la courbe a et du plan // . 



Les points d'intersections de la courbe a avec le plan V , sont 

 les six points S et les dix huit points u. Chaque point S est un 

 point stationnaire dont la tangente à la courbe a est une droite /,, 

 qui est située dans le plan V \ par conséquent, un point 8 compte 

 pour trois intersections. Chaque point a. est un point ordinaire de 

 la courbe a et la tangente à la courbe a en un tel point n'est 

 pas située dans le plan V, donc, chaque point os compte pour une 

 intersection. Ce qui donne (J X 3 -- 18 X 1 = ^ points com- 

 muns du plan V et de la courbe a. 



§ 35. Des intersections de la focale arec le plan Il . x = 93, 

 par conséquent, la courbe nodale de la surface O est une courbe 

 de l'ordre quatre-vingt-treize cette courbe nodale consiste en la focale 

 et en les deux courbes d s etc 2 , cette dernière étant une courbe 

 sextuple, doit compter pour ^^ = 15 coniques doubles. Le degré» 

 de la focale est donc 93 — 3 — 15X2 = 60. 



Le plan W n'est pas un plan o tangent a la surface O donc, 

 tous les points doubles de la section de la surface par le plan 

 IV, sont des points des courbes doubles de la surface 0. La 

 section consiste en la courbe (L et en les douze droites /„,. 

 Les douze droites /„, se coupent en les points 1 et -/, par 

 chacun desquels passent six droites /,,, et encore en trente-six 

 autres points, qui sont des points ordinaires de la focale. Chaque 

 droite /,,, est tangente à la courbe d. à , le point de contact es1 un 

 point multiple de la section, mais il est situé sur l'arête de re- 

 broussement et sur la courbe nodale d :i et il n'est pas un point 

 de la focale. Chaque droite /,„ étant une tangente à la cubique 

 d^, doit encore rencontrer la courbe d. s dans un autre point. Soit 

 un tel point un point D. Par un point D il passent trois nappes 

 de la surface 0; savoir: une nappe qui passe par la droite /„ et 

 deux nappes qui passent par la cubique d. v Par conséquent, par 

 un point D, il passe trois branches de la courbe nodale; la courbe 

 d s est une de ces trois blanches, les autres branches font partie 

 de la focale. Donc un point D est un noeud // de la focale et 

 doit compter pour deu\ intersections. Il y a douze points D, ce 



