32 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



qui donne vingt-quatre intersections, qui, avec les trente-six points 

 d'intersection de deux droites l w donnent les soixante points com- 

 muns du plan W et de la focale. 



§ 36. Points d 'intersection de la focale f avec Je plan V. 

 Les six droites /„ se coupent en quinze points. Trois de ces points 

 sont les points A x , A 2 et A. à , donc il reste douze de ces points , 

 qui sont situés sur la locale. Par chaque point de contact S d'une 

 droite /,, et de la conique c 2 , il passe quatre branches de la focale, 

 qui sont tangentes à la droite /„. 



En effet, par chaque point S passent sept nappes de la surface 

 0, savoir: une qui passe par la droite /,, et six nappes qui passent 

 par la conique c 2 . Par conséquent, par chaque point JS il passe 

 ^5=21 branches de courbes doubles de la surface 0. Parmi 

 ces vingt-et-une branches il s'en trouve deux de l'arête de rebrousse- 

 ment a, le point JS étant un point stationnaire de la courbe a , et la 

 conique c 2 qui doit compter pour quinze branches de la courbe nodale; 

 il reste 21 — 2 — 15 = 4 branches qui sont branches de la focale. 



Pour toutes les nappes de la surface O qui passent par le point 

 S, le plan tangent o passe par la droite /,,, par conséquent, cette 

 droite / ( , est la tangente à toutes les branches de la courbe double, 

 qui passent par ce point S. Le plan o, passant par la droite /,, , 

 est le plan oscillateur en le point S à chacune des quatre branches 

 de la focale, qui passent par ce point S. 



En effet, par le point A, où la droite /,, rencontre la cubique 

 d s , on peut mener quatre droites, tangentes à la cubique d. à en 

 les points Q x , Q 2 , Q. à et Q 4 . Les quatre droites jSQ^, >SQ 2 , tiQ. à 

 et jSQ 4 sont quatre génératrices ordinaires /, par lesquelles passent 

 quatre nappes ordinaires n l ', n" , n" 1 , n n . Les trois autres nappes 

 qui doivent passer par le point S sont formées par les droites / 

 consécutives à la droite /„. Ces dernières trois nappes se coupent 

 suivant les deux branches de l'arête de rebroussement et suivant la 

 conique c 2 , et forment ensemble un système que je désignerai par la 

 notation u 3 . Considérons l'intersection de la nappe triple n 3 avec 

 une des quatre nappes simples, par exemple n'. Cette nappe n' 

 rencontre deux des trois nappes, qui composent la nappe triple n$ , 

 suivant la conique c 2 et elle rencontre la troisième nappe du système 

 n~ suivant une branche de la focale. Une droite / consécutive de 

 la droite /„, tangente à la nappe n 1 , doit rencontrer la nappe n' 

 deux fois; une fois sur la conique c 2 et une fois sur la focale Le 

 plan oscillateur de la focale au point S est déterminé par la tan- 

 gente en ce point, et par un point infiniment voisin ; donc ce plan est 



