FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 33 



déterminé par la droite /„ et par un point de la droite /. Or com- 

 me cette droite / rencontre la 'droite /,, , ce plan oscillateur est 

 évidemment le plan des droites /,, et /, ou bien le plan o, tangent 

 à la développable O. 



Donc, un point S compte pour huit intersections de la focale 

 ƒ avec le plan V. Les six points S donnent avec les douze points 

 de la focale, lesquels sont des intersections de deux droites /,., 

 6 X 8 ~\~ 12 = 60 points communs, tel qu'il le faut. 



§ 37. Au § 33 on a trouvé /3 = 66. 



Les six points S sont des points /3, les points où les douze 

 droites /,„ touchent la cubique d. A sont également des points /3. 

 Donc il reste encore 66 — 12 --6 = 48 points /3 qui ne sont 

 pas situés dans les plans V et IF. Si l'on projette la conique e„ 

 sur le plan //", en prenant un de ces points /3 comme centre de 

 projection, la projection c'a passera par les points / et ./ et aura 

 un contact de l'ordre trois avec la cubique r/ 3 (§ G). 



Inversement, il correspond deux points /3 à toute conique c'a, 

 qui passe par les points I et J et qui a un contact de l'ordre 

 trois avec la cubique d, v Pour contrôler nous allons déterminer 

 d'une autre manière le nombre de ces coniques c'a. 



Une conique c'a passant par les points T et ./ et avant un 

 contact de l'ordre deux avec la, cubique d* en le point B 

 est complètement déterminé par le point B. Cette conique c"„ 

 coupe la cubique d, 6 dans trois points U; ces points U sont 

 encore complètement déterminés par le point B. Entre les points 

 B et U il existe une correspondance (3, 15), ce (pie je vais dé- 

 montrer. 



En effet, nous venons de voir qu'il correspond trois points /à 

 un point B. Pour déterminer le nombre des points B qui corres- 

 pondent à un point U, il faut déterminer le nombre des coniques 

 c'a, qui passent par un point U de la cubique d 3 et qui ont autre 

 part un contact de l'ordre deux. 



Pour que la projection c'a de la conique c 2 passe par le point 

 U et ait un contact de l'orde deux avec la cubique r/ 3 il faut que 

 le point C, le centre de projection, soit situé sur le cône du second 

 degré dont le point U est le sommet et dont la conique c est la 

 courbe de base, et que ce point C soit situé sur l'arête de rebrous- 

 sement a. Ce cône (Uc 2 ) rencontre la courbe a en soixante-douze 

 pointa dont trente-six sont situés sur la conique c et six sur les 

 deux droites /, qui passent par le point U, ces droites / étant 

 des génératrices du cône et des tangentes à la courbe a , tandis que 



Verhand. Kon. Akad. v. Wetenscli. (\' Sectie) Dl. VIII. E 3 



