FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 35 



droites FP { et FP 2 seront les deux droites /, qui passent, par le 

 point F. Pour (pie ces deux droites / déviennent des droites con- 

 sécutives, il faut que le point R soit un point de la conique c 2 . 

 Alors les deux droites /, FP X et FP 2 coïncident avec la tangente 

 h en le point F de la focale et ce point F est un point /3j de 

 la courbe a. La droite / passant par un point (2 1 est la tangente 

 à la courbe a en ce point, donc, la courbe ƒ est tangente à la 

 courbe a en chaque point /3 p Et inversement: des qu'une tangente 

 k à la focale en un point F non situé dans un des plans V ou 

 W rencontre la conique c 2 , ce point F est un point stationnaire 

 de la courbe a et la droite /• est une droite /. 



11 est facile de démontrer le théorème général: La courbe nodale 

 d'une surface développable est tangente à l'arête de rebronssement 

 a dans chaque point stationnaire de la courbe a. [Cremona- Curiae: 

 Grundzüge einer algemeinen théorie der Oberflàchen: page 90). 



§ 39. Points singuliers de la focale. Nous avons déjà vu 

 (§ 35) que les points fit de la conique a 2 sont des points quadru- 

 ples de la focale et que les quatre branches qui passent par un 

 point S ont la même tangente et même plan oscillateur que la 

 courbe a. 



Déterminons maintenant les points singuliers de la focale non 

 situés dans le plan V . La focale est l'intersection de deux nappes 

 de la développable 0. Kl le présentera un point multiple, si les 

 deux nappes se touchent ou si la focale rencontre une troisième 

 nappe de la surface 0. 



Deux nappes de la surlace O ne se touchent jamais puisqu' alors 

 la surface O posséderait un plan bitangent et nous avons vu, que 

 G = 0. 



Si par un point passent trois nappes de la surface O ce point 

 sera un point triple de la surface et par ce point passeront trois 

 blanches de la courbe double. 11 y a plussieurs cas à considérer. 



Les trois branches passant par le point triple appartiennent à la 

 courbe nodale: 



1°. Une de ces blanches peut être la courbe ^ 3 ; les deux autres 

 branches appartiennent à la focale. Ces points triples sont les 

 points 1), de la courbe cL, où elle est rencontrée par une des 

 douze droites /„,; ce qui donne douze noeuds de la focale: 



2°. Les trois branches de la courbe nodale, qui passent par le 

 point triple, appartiennent à la focale; alors si l'on prend ce point 

 pour centre de projection, la projection c'a de la conique <\, sur 

 le plan IF, aura trois contacts de l'ordre un avec la courbe cL. 



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