36 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



Et inversement, dès qu'il y a une conique c' 2 qui passe par les 

 points I et J et touche en trois points distincts la cubique d 3 , les 

 deux sommets des cônes du second degré, qui passent par les 

 coniques c 2 et c' 2 à la fois, seront des points triples de la focale. 



Le nombre des coniques c 2 passant par deux points fixes et 

 touchant trois fois une cubique d 3 étant douze, {Cremona- Curtze : 

 Ebene Curven, 1865 page 254), il existe vingt-quatre points triples 

 sur la focale. 



Des trois branches de courbes doubles passant par un point 

 triple de la surface, une peut appartenir à l'arête de rebrousse- 

 ment. Ce cas se présente si l'arête de rebroussement rencontre une 

 nappe de la surface 0. 



Soit L ce point de rencontre de la courbe a, par laquelle pas- 

 sent deux nappes ri et ri', avec une troisième nappe ri"; soit / 3 

 la génératrice de la nappe ri" qui passe par le point L. Les tan- 

 gentes aux branches de la courbe focale seront les droites d'inter- 

 section du plan tangent à la nappe ri" le long de la droite / 3 avec 

 les plans tangents aux nappes ri et ri' , dans le point L. Comme 

 ces derniers deux plans tangents coïncident avec le plan oscilla- 

 teur de la courbe a en le point L, ces deux tangentes coïncident, 

 par conséquent, le point L est un point stationnaire de la focale. 

 On voit facilement que le plan oscillateur en le point L ou jö de 

 la focale est le plan o passant par la droite / 3 . 



Si l'on projette la conique c 2 sur le plan W ', le point L étant 

 le centre de projection, la projection c' 2 aura avec le courbe c/ 3 

 deux contacts, l'un de l'ordre deux, puisque le point L est un 

 point ordinaire de la courbe a, et l'autre de l'ordre un, puisque 

 par le point L passe la droite / 3 . Et, inversement à toute conique 

 c'a, passant par les points I et J et ayant avec la courbe r/ 3 , 

 deux contacts, l'un de l'ordre deux et l'autre de l'ordre un, il 

 correspond deux points L, qui seront des points stationnaires de 

 la focale. 



Soit c'a une conique passant par les points I et /, laquelle a 

 en un point P' un contact de l'ordre deux avec la courbe d 3 

 et passe par un point P de la courbe d 3 . La conique c' 2 ren- 

 contre la courbe d 3 en deux points P" encore. Si le point P 

 coïncide avec un point P" la conique c" 2 devient une conique c' 2 . 



Pour déterminer ce nombre de coïncidences, employons la for- 

 mule:/; {a — a — ct)-\- q{b — |8 — /3') = /•. 2 D. (Salmon-Medler, 

 Ebene curven 1882, page 426.) 



La courbe @ consiste ici en les quinze coniques c" 2 , qui passent 

 par le point P ($ 37); on voit facilement qu'il faut substituer 



