FOCALES DES COURBES PLANKS ET GAUCHES. 37 



k = 15 comme les quinze coniques <■' i} passent par le point P, 

 on a trouvé (§ 37) que le nombre de coïncidences a des points P 

 et P', est 24; «=3, «'=15, j3 = /3'=15X2, D=\- 

 p = 3 puisque la conique c"„ est osculatrice de la courbe c/ s , 

 q=l\ ce qui donne: 3 (24 — 3 - - 1 5) -f 1 X (b -- 30 - 30) = 

 15. 2. 1 d'où le nombre des coïncidences b= 72. 



Par conséquent, le nombre des points stationnaires /3 = 144. 



Si par un point triple de la courbe double passent deux bran- 

 ches de la courbe a, ce point est un noeud H ou un point /3; 

 //= et un point /3 donne un point ordinaire de la focale, donc 

 de ce chef, il n'y a pas de singularités sur la focale. 



§ 40. Détermination de A: nombre des génératrices qui sont à 

 la fois sécantes de la courbe a. 



Nous avons vu au paragraphe précédent qu'on obtient un point 

 stationnaire (2 de la courbe nodale toutes les fois que par un point 

 A de la courbe a il passe une troisième génératrice / 3 . Par consé- 

 quent, on peut trouver le nombre des points /3 en déterminant le 

 nombre A. 



La formule qui exprime A en fonction des nombres connus, m, 

 r, n., et, etc. est 



A = n (r -f 4) — 6 (r -\- j3) — 4 (« -f- H) — 2 v 



A = 3G (18 + 4) — 6 (18 + 6G) — 4 (0 -f 0) — 2 X ° 

 A = 288. (A Pascal II Geometria p. 322). 



Pour trouver le nombre ^ des points stationnaires de la focale, 

 il faut diminuer ce nombre A par le nombre des points A qui sont 

 situés sur les deux autres courbes nodales. 



Les points, où la courbe a rencontre la courbe c/ 3 , ne sont pas 

 des points A. 



Chaque point S doit compter pour douze points A. En effet, 

 un point A est un point d'intersection de la courbe a avec une 

 nappe de la surface O. 



Par un point S il passe quatre nappes de la surface qui sont 

 tangentes à la courbe a en ce point, tandis que ce point est un 

 point stationnaire de la courbe. Dans les six points S se sont donc 

 réunis G X 12 = 72 points A. 



Chaque point a. de la conique c 2 compte pour quatre points A 

 puisque la courbe a y rencontre encore quatre nappes de la surface. 

 Dans les dix-huit points a se sont réunis 18 X 4- = 72 poinis A. 



Il reste donc 288 — 72 — 72 = 144 points A qui ne sont pas 

 sur les courbes d 3 et c 2 , et qui sont, par conséquent, des points 



