3S FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



station naires /3 de la focale (§ 39) Remarquons que le plan oscil- 

 lateur en le point /3, de la focale est le plan o tangent à la dé- 

 veloppable O le long de la droite l 3 . 



Remarque sur les formules pour A, A' et R. Les formules qui 

 expriment les quantités A, A' et R en fonction des singularités 

 ordinaires sont données par E Rascal, II Geoinetria p. 322, et par 

 Salmon, Geometry 3. D. p. 589. 



J'ai compulsé les démonstrations, qu'ont données de ces formules 

 Cremona (voir: Cremona- Curtze , Oberflachen p. 81 — 95), Salmon 

 (Geometry. 3. D. p. 580—600 ou Transactions R. I. Academy 

 1859) et Cayley (Complete Works Vol. VI). Dans ces démonstra- 

 tions la surface considérée est supposée ne posséder que des courbes 

 doubles. Dès que la surface possède une courbe triple les démon- 

 strations tombent en défaut, pnisqu' alors la courbe nodale est 

 située en partie sur la deuxième polaire, par rapport à la surface 

 considérée, un point quelconque étant le pôle. 



Attendu que dans le cas dont il s'agit ici et dans la grande 

 majorité des cas suivants, la conique c 2 est une courbe d'une mul- 

 tiplicité plus grande que deux, il est douteux que ces formules 

 soient applicables. C'est pourquoi j'ai toujours dû contrôler les 

 résultats, obtenus au moyen de ces formules. Sauf dans quelques 

 cas, que je me propose de signaler plus tard, les résultats obtenus 

 par ces formules sont d'accord avec ceux que j'ai trouvés en sui- 

 vant une autre méthode. 



§ 41. Détermination de A': nombre des plans o oscillateurs de 

 la courbe a, qui sont encore tangentes à la courbe <i. 



Soit /j la tangente à la courbe a en le point, on le plan A' est 

 osculateur. Soit /' la tangente à la. courbe a en le point, où le plan 

 A' est tangent à la courbe a. Les deux nappes n t et // de surface 

 qui passent par les deux génératrices l { et /' se coupent suivant 

 une branche de la courbe nodale, à laquelle la droite /' est tan- 

 gente. Soit l" une génératrice infiniment voisine de la génératrice 

 /', qui rencontre la nappe n { dans deux points réels. Dans le plan 

 (/'/') qui est le plan tangent à la nappe n se trouvent, par con- 

 séquent, quatre points de la courbe nodale, ou bien ce plan est 

 un plan stationnaire de la courbe nodale. 



On peut déterminer a' au moven de la formule suivante: 



A' = m {r -f 4) -- (r -(- a) -- 4 (w -f G) — 2v 



A'= 12(18 -1-4) — 6(18 + 18) --4(0 -f 0)--2 X 



A' = 48. {JE. Pascal II Geoinetria p. 322). 



