FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 39 



Par conséquent, il arrive quarante-huit fois qu'une génératrice/* 



située sur une nappe ri de la surface 0, est tangente à une autre 

 nappe n l . 



Ou bien, il existe quarante-huit tangentes communes a la courbe 

 a et à. une nappe de la surface 0. 



Une génératrice /,. située sur la nappe triple u 3 est tangente en 

 le point S aux quatre nappes simples qui passent par ce point S 

 (§ 3G). Comme le point S est le point, où la droite /, est tangente 

 à la courbe a, une droite /„ est tangente en le même point à la 

 courbe a et à chacune des nappes simples. 



Par conséquent, une génératrice /,, doit compter pour huit tan- 

 gentes communes. Donc les quarante-huit tangentes communes sont 

 les six droites /,,, et aucun des quarante-huits plans A' n'est un 

 plan stationnaire de la focale. 



On peut s'assurer directement, qu'il n'existe pas de plans A 

 qui soient des plans stationnaires a. de la focale. 



Supposons qu'il existe un plan A' tangent à la surface O le long 

 de la génératrice L. Le plan A' étant un plan o, doit être tan- 

 gent à la conique c« en le point _P X , où la droite l { rencontre la 

 conique <■„. La génératrice /' doit rencontrer la conique c 2 , donc 

 elle doit également passer par le point P x . Le plan o tangent à 

 la surface le long de la droite /' est le plan déterminé par la 

 droite /' et par la tangente à la conique c> en le point l } x ; donc, 

 ce plan o est le plan A'. Par conséquent, ce plan A' serait un plan 

 bitangent G ou un plan et et ce ne serait plus un plan A'. Ce 

 raisonnement tombe en défaut, si la génératrice /' coïncide avec 

 la tangente à la conique c 2 , puisqu' alors ces deux droites ne déter- 

 minent plus un plan o. Donc les seuls plans A' qui peuvent exister 

 sont des plans o, passant par les droites /,,, cequi s'accorde avec 

 le résultat trouvé ci-dessus. 



§ 42. Détermination de /-. nombre des points de la focale 

 situés sur chaque génératrice /. 



Chaque génératrice d'une surface développable O, rencontrant la 

 courbe nodale ;• — 4 fois {Salmon 3 D. p. 297), une droite / ren- 

 contrera la courbe nodale quatorze fois. Une droite / rencontre 

 une génératrice sur la courbe <i 6 et cinq génératrices sur la co- 

 nique c 2 ; donc elle rencontre encore huit génératrices en des 

 points de la focale, d'où: 1=8. Une droite /„, rencontre six 

 autres droites /„, en des points Ar la focale et passe par un noeud 

 de la focale, cequi donne huit intersections. 



Il existe des génératrices qui ont de commun avec la locale, 



