40 FOCALES DES COURBES PLANES KT OAUCHES. 



plus de huit points; par exemple: 1° une droite /„ rencontre huit 

 branches de la focale dont elle touche quatre; 2° chacune des 

 quatre droites / qui passent par un point JS rencontre onze bran- 

 ches de la focale. 



Théorème. Soient F x , F 2 . . . . F 8 les huit foyers , situés sur une 

 droite l x , les foyers conjugués F x ' , F 2 ' . ... F 8 ' sont situés sur 

 la droite l x ', qui passe par le même point Q de la cubique d z que 

 la droite l x , et est également une génératrice de la surface 0. 



Démonstration. Menons un plan par le point Z et par la droite 

 /j et soient v et w les droites d'intersections de ce plan avec les 

 plans V et W. Deux foyers conjugués étant conjugués harmo- 

 niques par rapport au point Z et à la droite w (§ 8), les foyers 

 F x ' , F 2 ' . . . . F 8 ' seront situés sur une droite I' x , qui passe par 

 le point Q, les droites l x ' et l x étant conjuguées harmoniques, par 

 rapport aux rayons to et QZ. La droite l x ' rencontre aussi la 

 conique c 2 , parce que le point Z est le pôle de la droite z par 

 rapport à la conique c 2 . La droite I x ' a de commun avec la sur- 

 face O les huit foyers F' et le point Q, qui sont des points 

 doubles, et encore son point de rencontre avec la conique c 2 , qui 

 est un point sextuple. La droite l x , ayant de commun avec la 

 développable U, 8X2-f~"f6 = 24 points, est située tout 

 entière sur la surface 0, donc cette droite est une génératrice de 

 la surface 0. 



11 en résulte encore que, si les deux droites / qui passent par 

 un foyer F rencontrent la cubique d 3 dans les points Q x et Q 2 , 

 les deux droites / qui passent par le foyer conjugué F' , passeront 

 par les mêmes points Q x et Q 2 . 



§ 43. Discussion de y. Un plan y est- un plan, contenant deux 

 droites / donc c'est un plan bitangent à la courbe a. 



Le nombre y indique le nombre de ces plans passant par un 

 point quelconque. 



Les deux droites / qui sont situées dans un plan y se rencon- 

 trent dans un point de la courbe nodale de la surface 0, par 

 conséquent, il y a trois espèces de plans y. 



1° les plans y x pour lesquels les deux droites / se rencontrent 

 dans un point de la courbe d 3 ; 



2° les plans y 2 pour lesquels les deux droites / se rencontrent 

 dans un point de la conique c 2 ; 



3° les plans y s pour lesquels les deux droites / se rencontrent 

 dans un point de la focale. 



h = 9 - 



