FOCALES DES COURBES PLANKS ET GAUCHES. 41 



Démonstration. Soit B un point quelconque du plan V ; par ce 

 point il passe d'abord le plan V, qui compte puur trois plans y x 

 parce que, dans ce plan se trouvent trois couples de droites /qui 

 se rencontrent dans les points A x , A 2 ou A. à de la courbe d 3 . 

 Soit Q un point quelconque de la cubique d 3 , soit B le point, où 

 la tangente à la courbe cL en le point Q rencontre la droite z, 

 et soient B x et P» les deux points de contact des tangentes à la 

 conique c 2 qu'on peut mener par le point B. Le plan (Qi J , P 2 ) 

 est le plan y x du point Q; ce plan coupe le plan V suivant une 

 droite passant par le point Z. Les plans y x qui passent par le point B 

 doivent, par conséquent, passer par la droite BZ. Soit B 1 le pôle 

 de la droite BZ, par rapport à la conique c 2 , et soit Q 1 un des 

 points de contacts des six tangentes à la cubique d 3 qu'on peut 

 mener par ce point B 1 . Les six plans (B Z Q 1 ) seront encore des 

 plans y x passant par le point B, donc y. = 3 -j- 6 = 9. 



y 2 ==48. 



Démonstration. Soit Z? un point quelconque du plan W. Les 

 six droites /,„ qui passent par le point I donnent quinze couples 

 de droites /, qui se rencontrent dans un point de la conique e 2 ; 

 le plan W compte, par conséquent pour trente plans //.,. 



Soient Q x et Q 2 deux points de la cubique d 3 par lesquels pas- 

 sent deux droites /, qui se rencontrent dans un point B de la 

 conique c 2 ; alors les tangentes à la cubique cL en les points Q x 

 et Q 2 se rencontrent dans un point B de la droite z. 



Soit v une droite passant par le point B, qui rencontre la 

 courbe d. A dans les points Q x , Q 2 , Q s et soient t x , t 2 , / 3 les tan- 

 gentes à la cubique d % en ces points. Si la droite v est telle que 

 deux des tangentes t x , t 2 , t 3 se rencontrent dans un point B de 

 la droite z, il passera par la droite v deux plans y„, puisque du 

 point B on peut mener deux droites tangentes à la conique c 2 . 

 Le lieu des intersections de deux tangentes t est une courbe du 

 degré neuf. (/. C. Kluycer: Nieuw Archief v. W. Deel XV11 

 1890). Donc, par le point B il passe encore 9X2= 18 plans 

 y 2 - donc y % = 30 -f 18 = 48. 



Le nombre y étant 117, il reste pour le nombre y. A des plans 

 //, passant par un point et contenant deux droites / qui se ren- 

 contrent dans un point de la focale: 117 — 9 — 48 = 00. 



Dans le plan W sont situées douze droites /,„ qui se rencontrent 

 dans trente-six points de la focale, par conséquent, le plan //^doit 

 compter pour trente-six plans y 3 . Par un point B du plan W il 

 passe donc encore vingt-quatre autres plans y. à . Nous avons vu au 

 § précédent, que si deux droites l x et l 2 , passant par les points 



