42 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



Q { et Q 2 de la cubique c/ 3 , se rencontrent dans un point F x de 

 la focale, les deux droites l\ et l' 2 qui passent encore par les 

 points Q 1 et Q 2 , se rencontrent dans le foyer F 9 conjugué. Les 

 deux plans y 3 , (Q { Q 2 F x ) et (Q l Q 2 F 2 ) passent, par conséquent, parla 

 môme droite Q l Q 2 du plan IF. Cette droite Q { Q 2 est la corde 

 de contact des deux foyers conjugués F 1 et F*. Le nombre des 

 plans y % , outre le plan W, passant par le point B, étant vingt- 

 quatre, le nombre des cordes de contact passant par le point B 

 est douze; donc-. Les cordes de contact {directrices), enveloppent une 

 courbe de la douzième classe. La droite z est une tangente sextuple 

 de cette enveloppe. 



Le plan V est un plan y s pour chacun des douze points de la 

 focale situés sur deux droites /,, Par un point quelconque du plan 

 V il passe, par conséquent, encore quarante-huit plans y 3 , outre le 

 plan V. Les droites d'intersection des plans y H avec le plan V 

 enveloppent, par conséquent, une courbe de la quarante-huitième 

 classe. Soient P x et P 2 les points, où un plan y 3 rencontre la 

 conique c 2 , soient /j et l 2 les droites / dans ce plan et soit L 

 leur point de rencontre. La tangente /• à la focale en le point F 

 est l'intersection des deux plans o, qui touchent la surface O le 

 long des droites l { et l 2 . Donc la tangente k rencontre le plan v 

 dans le point d'intersection des tangentes à la conique c 2 en les 

 points P x et P 2 , ou bien la droite /; passe par le pôle de la droite 

 P 1 P 2 par rapport à la conique c 2 . Les droites P x P 2 enveloppant 

 une courbe e de la quarante-huitième classe, le lieu b des intersec- 

 tions avec le plan V des tangentes /• à la focale est une courbe 

 du degré quarante-huit. Le plan W comptant pour trente-six plans 

 i/o, la droite z est trente-six fois tangente à la courbe e, donc le 

 point Z est un point multiple de la courbe b, par lequel passent 

 trente-six branches de la courbe b, ce qui est conforme au résultat 

 trouvé au § 9 : que passent par le point Z les droites Je tangentes 

 h la focale en ses points ordinaires, situés dans le plan W. 



§ 44. Détermination de r: ran// de la focale. Considérons la 

 développable A' dont les génératrices sont les tangentes /• à la focale. 

 La section de cette surface K par le plan V consiste en une courbe 

 b et en les six droites /„, qui, comptent chacune pour quatre géné- 

 ratrices /•, une droite /„ étant tangente aux quatre branches de la 

 focale, qui passent par un point S. 



liii courbe b est de l'ordre quarante-huit. En effet, considérons 

 une droite / tangente à l;i conique c 2 en le point P; soit Q un 

 point de la droite t par lequel passe une génératrice k, Une gêné- 



