FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 43 



ratrice k, tangente à la focale en le point F, est l'intersection des 



deux plans o tangents à la surface U le long des deux droites /, 

 qui se rencontrent au point F. Ces deux plans o coupent le plan 

 V suivant deua droites, passant par le point Q et tangentes à la 

 conique c 2 - 



La droite t étant une des deux tangentes à la conique c 2 qu'on 

 peut mener par le point Q, un des deux plans o dont la droite 

 /,: est l'intersection, passe par la droite /. Par conséquent, il faut 

 que le point F, où la droite h est tangente à la focale soit situé 

 sur une des droites / qui passent par le point F. Et inversement, 

 les droites k , tangentes à la focale en les points F, situés sur les 

 six droites /, lesquelles passent par le point F, rencontrent toutes 

 la tangente /. Sur toute droite / se trouvent huit points F, (§ 42) 

 et par un point F [tassent six droites /; donc la droite t ren- 

 contre quarante-huit droites /•, d'où il résulte que le courbe b est de 

 l'ordre quarante-huit. Ce qui est conforme au résultat trouvé au § 43. 



Pour contrôler déterminons le nombre des points d' intersection 

 des courbes b et c 2 . Une droite l- , étant l'intersection de deux 

 plans o, ne peut rencontrer la conique c 2 que dans les deux cas 

 suivants: 1° ces deux plans o passent par une même tangente /de 

 la conique r., et alors la droite /• doit être la tangente /; 2° les 

 deux plans o sont deux plans consécutifs et la droite k coïncide 

 avec une droite /. Les droites / qui sont des droites /• sont les 

 quarante-huit droites /, qui sont tangents à la courbe a en les 

 points stationnaires /3j (§ 38). Les tangentes / qui sont des droites 

 % sont les droites /,,, et les points de contact S sont des points 

 de la courbe b. Par chacun des six points A', passent quatre bran- 

 ches de la courbe b. Un point 8 étant un point d'inflexion de 

 chaque branche et la tangente d'inflexion étant la droite /,,, cela 

 donne aux six points S, 6X4X2 = 48 intersections. Nous 

 avons donc quatre-vingt-seize intersections; d'où il suit que le degré 

 de la courbe b est quarante-huit. L'intersection totale de la surface 

 K avec le plan V est du degré 24 -- 48 = 72; donc: r= 72. 

 Autrement. 



On peut déterminer le rang H de la courbe nodale au moyen 

 de la formule suivante 



F = rm 4- 6 r — 3 n — 9 m — 3 v — 2 G 



F= 18.12 -\~ 0.18 --3.3G-- 9.12 — 3.0 — 2,0. 



F= 18(12 -f- G-- ()-- 6) = 108; {RFasc«/\\. v . 321). 



Le rang de la courbe nodale r/ 3 étant six et celui de la conique 



