44 FOCALES DES COUKBES PLANES ET GAUCHES. 



c 2 , qui étant courbe sextuple, doit compter quinze fois, étant 

 trente, il reste pour le rang de la focale 108 — 6 — 30 = 72; 

 donc r = 72. 



§ 45. Détermination de m, la classe de la focale. Déterminons le 

 nombre des plans o oscillateurs à la focale et tangents à la conique c„; ce 

 nombre sera le double de m. Par chaque droite h, excepté les droites l v , 

 il passe deux plans tangents à la conique c 2 , ces plans sont des plans 

 o. Si donc le plan o passant par une droite le, est tangente à la 

 conique c 2 , ce plan o coïncide avec un plan o. Nous avons vu au 

 § 30 que le plan oscillateur o en un point S d'une branche de 

 la focale, est le plan o passant par une droite /„. Donc, tous les 

 plans o_ tangents à la conique c 2 sont des plans o. Ces plans seront : 



1° les plans a.; en effet, dans un plan a se trouvent trois droites 

 / consécutives; si ces trois droites coupent une nappe de la surface 

 O, les trois points d'intersection seront trois points consécutifs de 

 la focale; ce plan a. est donc un plan o pour chaque intersection 

 de la droite /, du plan a, avec la focale. Au § 42 nous avons vu 

 que ce nombre d'intersections / est huit; donc, tout plan a compte 

 pour huit plans o et les dix-huit plans et comptent pour 18 X 8 = 

 144 plans £, tangents à la conique c 2 (voir Cremona-Curtze : Ober- 

 flàchen p. 13). 



2° Nous avons vu au §§ 39 et 40 que le plan oscillateur à 

 la focale en un point /3 est un plan o; le nombre des points /3 

 étant 144, cela donne encore cent quarante-quatre plans o tangents 

 à la conique c 2 . 



3° Chaque plan osculateur o en un point S d'une branche de 

 la focale doit compter pour trois plans tangents communs à la 

 conique c 2 et à la développable K puisque la conique c 2 et la 

 focale se touchent au point S. Cela est facile à vérifier en consi- 

 dérant les polaires réciproques. 11 y a six points S par chacun 

 desquels il passe quatre branches de la focale, ce qui donne 6 X 4 X 

 3 = 72 plans <j_ tangents à la conique c 2 . En tout le nombre des 

 plans tangents communs à la conique c 2 et à. la développable K 

 est 144 -j- 144 -+- 72 = 360; donc: m = 180. Le plan /' n'est 

 pas un plan o, donc la courbe d'intersection de la surface Xavec 

 le plan V est aussi de la classe m; donc la courbe b est aussi de 

 la classe cent quatre-vingts, ce qu'on avait aussi pu trouver en déter- 

 minant les tangentes communes aux deux courbes b et c 2 . 



§ 40. Détermination de v et de u. En général, v=0, en 

 effet, supposons (pie trois foyers 1<\ , F 2 et F s consécutifs, soient 



