FOCALES DES COURBfiS PLANES ET GAUCHES. 45 



en ligne droite. Far chacun des éléments de la focale t\ F 2 et 

 F 2 F 3 il passe deux plans o, donc par la droite J<\ F 2 F, A il passe 

 quatre plans o. Ce cas ne peut se présenter que lorsque les quatre 

 plans o coïncident deux à deux, donc que la droite F x F 2 F 3 est 

 l'intersection de deux plans a, ou que la droite F x F 2 F± est une 

 droite /,,. En général les deux droites / le long desquelles deux 

 plans a sont oscillateurs à la surface O, ne se rencontrent pas. 

 Les droites /„ sont des génératrices doubles de la surface K, il 

 est vrai, niais ce sont des droites w; donc v = 0. 



Par une droite « ; qui touche la focale en les poits F^ et F 2 il 

 passe quatre plans o, savoir: les plans o qui sont tangents à la 

 surface O le long des deux couples de droites /, qui se rencon- 

 trent aux points F x et F 2 . Par une droite non tapigente à la co- 

 nique c 2 , il ne passe jamais plus de deux plans tangents à la co- 

 nique Ca. Ces quatre plans o doivent, par conséquent, coïncider 

 deux à deux; donc la droite w doit être l'intersection de deux 

 plans G et il faudrait encore que les deux droites /, le long des 

 quelles l'un des deux plans G est tangent, rencontrent les deux 

 droites /, le long desquelles l'autre plan 6' est tangent à la sur- 

 face O. Cette singularité ne se présente que pour des positions 

 très particulières de la courbe d; donc, les seules droites qui peu- 

 vent donner des droites w sont les droites /•, tangentes à la conique 

 c 2 . Les droites h tangentes à la conique c 2 sont les six droites /,,, 

 qui étant chacune tangente à quatre branches de la focale sont des 

 droites k multiples. Luc droite /,, étant tangente à six couples de 

 branches doit compter pour six droites a. Les deux points, ou 

 une droite /„ touche les branches de la focale coïncident, les deux 

 plans o tangents à la surface K le long de la génératrice /,, coïn- 

 cident également, par conséquent, chacune des six droites u, qui 

 se confondent dans une seule droite /,, , doit compter double dans 

 les formules de Cayley-Plnelcer. 



£n effet, si d'une droite o> les deux points de contact et les 

 deux plans oscillateurs coïncident, la projection de la courbe aussi 

 bien que la section de la développable, possédera deux branches 

 qui se touchent; par conséquent w = 72. 



Une fois les quantités n = 60, r = 72, m = 180, ^ = 144, 

 y=0, o? = 72 connues, on peut au moyen des formules de Cayley- 

 Pliicker déterminer les singularités et, x, //, // -f- //, g ~\- G, et p. 



On trouve les valeurs: x ~\- u = 2370, y -f- o| = 22Ö0, 

 »= 384, çj_-\- G= 15498, 1 -\- H = 1518, £= 19. 



§ 47. La projection f de la focale sur le plan W , le point Z 



