FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 47 



sont des points ordinaires de la section S. La focale rencontre encore 

 le plan W aux points D, qui sont des noeuds // de la focale. 

 Ces points D sont des points quadruples de la courbe nodale de la 

 développable K et les quatre branches de cette courbe nodale, pas- 

 sant par un point D, sont tangentes à une même droite: L'inter- 

 section des plans osculatcurs aux deux branches de la focale en le 

 point D, {Cremona- Curtze: Oberniichen p. 88). Cette droite d'inter- 

 section est située dans le plan W, parce qu'elle est l'intersection 

 de deux plans o osculateurs en les deux foyers conjugués, qui 

 coïncident au point D. Un point D est donc un point station naire 

 de la section s et est encore un point station naire de la partie 

 i«staiite de la courbe nodale et compte pour trois intersections de 

 cette courbe nodale avec le plan W. Le nombre <Jes points D étant 

 douze , *"= 12. 



De ces valeurs fx' = 36, v" = 90, x" = 12 on tire jT = 567, 

 C = 174 , i_ = 3726 , £ =Tl6. 



Pour vérifier, déterminons d'une autre manière les valeurs de i" 

 et de y . 



Par chaque tangente stationnaire i" de la section s, il passe 

 deux plans stationnaires a conjugués. On a trouvé a, = 884 

 (§ 40), dont trente-six sont osculateurs à la focale en les points u 

 situés dans le plan W (§ 9). Ces trente-six plans et coupent le 

 plan W suivant des tangentes ordinaires de la section s. Les 348 

 plans a restants donnent 174 tangentes stationnaires de la section 

 s , donc: t" = 1 74. 



Le degré de la courbe nodale x est 2304 parce (pie a?-j-w — 

 2376 et w = 72, (§46). La courbe nodale x se décompose en la 

 section s du degré trente-six et en une courbe restante £ du degré 

 2268. Cette courbe nodale § rencontre le plan W trois fois dans 

 chaque point D (voir si-dessus). Elle possède douze branches, qui 

 passent par chaque point A, parce que les quatre nappes de la 

 surface K qui passent par une droite /,, rencontrent, au point A, 

 quatre autres nappes passant par une seconde droite/,,. Par chaque 

 point A il passe, par conséquent, seize branches de la courbe 

 nodale x, quatre de ces branches appartiennent à la section *, donc 

 il reste encore douze pour la courbe £. 



Toutes les seize branches de la courbe nodale étant tangentes à 

 la courbe d 3 en le point A (§36), un point A compte pour vingt- 

 quatre intersections du plan W avec la courbe nodale £. 



Les trente-six plans doubles G, qui passent par le point Z{\ 47), sont 

 tangentes à la section s en des points, où se touchent deux nappes 

 de la surface K. Par chacun de ces points de contact, il passe, 



