48 FOCALES DES COUR UK S PLANES ET GAUCHES. 



outre la courbe £, une branche de la courbe nodale |, ce qui donne 

 encore trente-six intersections de la courbe nodale £ avec le plan 

 W. Le nombre des intersections restantes de la courbe £ avec le 

 plan W est, par conséquent: 2208 — 12 X 3 — 3 X 2 4 — 36 = 

 2124. Par chaque noeud de la section s, il passe quatre nappes 

 de la surface K; donc, par un noeud de la section s il passe 

 quatre branches de la courbe nodale £, ce qui donne pour le nombre 

 des noeuds de la section s: 531. Par un point A, il passe quatre 

 branches de la courbe s qui en ce point ont la même tangente, 

 cequi donne encore trente-six noeuds de la courbe s, donc à" = 

 531 -|- 30 = 567, résultat conforme à celui que nous avons trouvé 

 au moyen des formules de PlucJcer. 



11 est impossible de déduire la valeur de r" du nombre g -j- G , 

 parce que toute tangente à la section s est située dans deux plans 

 o; d'où il suit, que pour le plan W, g -\- G = x . 



§ 49. Section de la surface K par le plan V. On a vu que 

 cette section consiste en les six droites l v et en la courbe b qui 

 est du degré quarante-huit (§ 44). La courbe b est de la môme 

 classe que la focale parce que le plan V n'est pas un plan o, donc 

 elle est de la classe 180 {% 45). 



Pour obtenir les points stationnaires de la courbe b, on considère 

 les points où la focale rencontre le plan V. Ces points sont les 

 points S, et les douze points B, où se rencontrent deux droites 

 /„. Ces derniers seuls donnent des points stationnaires de la courbe 

 b, tandis que les quatre branches de la focale, qui passent par un 

 point >S y , donnent quatre points d'inflexion de la courbe b, les 

 quatre branches de la focale étant tangentes au plan V (§ 36), 

 donc y" = 12. 



Des valeurs ^" = 48, v" = 180, y.' = 12 on tire, au moyen 

 des formules de Plücker: <" = 408, J" = 1020, / = 15474, 

 p" = 49. 



Pour vérifier, déterminons d'une autre manière les valeurs de /" 

 et de è". 



Les tangentes d'inflexion de la courbe b sont les droites d'inter- 

 section du plan V avec les 384 plans a. (§46), et les six droites 

 l„. Chaque droite l v , étant tangente à quatre branches de la focale, 

 est quatre fois une tangente d'inflexion de la courbe b; donc, 

 /" = 384 -f 6 X 4 = 408. 



La courbe nodale x de la surface K étant du degré 2304, la 

 section de la surface K, par le plan V, aura 2304 noeuds. Ces 

 noeuds seront: 1° les noeuds de la courbe b, 2° les points 



