FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. I!) 



d'intersection de la courbe /; avec une droite /,, et 3° les points 

 d'intersection de deux droites /,.. Par chaque point A il passe seize 

 branches de la combe x ( § 48). Par chaque point de rencontre B 

 de deux droites /,,, il passe dix nappes de la surface K, savoir: 

 quatre passant par chacune des deux droites /,, et deux passant 

 par la focale. Par chacun des douze points B il passe, par consé- 

 quent, trente-deux branches de la courbe nodale x. 



Par chaque point 8 il passe quatre branches de la focale, qui 

 ont la même tangente et le même plan osculateur (§ 86). Consi- 

 dérons deux surfaces développables dont les arêtes de rebrousse- 

 ment ont en un point commun la même tangente / et le même 

 plan osculateur o. La courbe d'intersection de ces deux surfaces 

 consiste, 1° en la tangente commune /, comptée deux fois, 2° en 

 trois branches, qui touchent cette tangente commune t, et 3° en 

 deux blanches ayant une même tangente, située dans le plan o mais 

 distincte de la tangente /. Pour mieux nous représenter cette intersec- 

 tion, prenons comme origine des coordonnées rectangulaires le point 

 commun aux arêtes de rebroussement. Soit l'axe des a?, la tangente 

 /, soit le plan xz le plan osculateur o, et soient les deux arêtes 

 de rebroussement symétriques par rapport au plan y z. Ceplanya 

 coupera les deux surfaces développables suivant la même courbe, 

 qui a un point stationnaire à l'origine; donc, la courbe d'inter- 

 section des deux développables aura, deux branches (formant un 

 rebroussement) tangentes à Taxe des z. En considérant deux sections -, 

 parallèles au plan yz, situées de part et d'autre de ce plan, à 

 des distances suffisamment petites, on voit dans chacune des deux 

 sections trois points de la courbe d'intersection, situés tous les 

 six du même côté du plan xy; donc, la courbe d'intersection pos- 

 sède trois branches tangentes au plan x y. Les tangentes à ces trois 

 branches doivent se trouver dans le plan xz tangent aux deux 

 développables, donc l'axe des x est la tangente commune à ces 

 trois branches de la courbe d'intersection. 



11 s'ensuit de ce qui précède, que par chaque point S il passe 

 six fois trois branches de In courbe x tangentes à la droite l et que 

 ce point S est encore six fois un point stationnaire de la courbe 

 x; donc, chaque point S compte pour quarante-huit intersections 

 du plan V avec la courbe x. 



Chaque droite /„ rencontre encore les vingt-huit droites /•, qui 

 sont tangentes à la focale en ses points d'intersection avec les quatre 

 droites / ordinaires, qui passent, par le point S, où la droite /,, 

 touche la conique c, (§11). Par chacun de ces vingt-huit [joints, 

 où une droite /„ rencontre encore la courbe h. il passe quatre 



Verhoud. Kon. A.kad. v. Wetensch. (ie Sectie). Dl. VIII. ]£ 4 



