50 FOCALKS DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



branches de la courbe x, parce que en un tel point, les quatre 

 nappes, passant par la droite /,,. rencontrent la nappe, passant par 

 la droite h. 



Le nombre des intersections des courbes b et x non-situées sur 

 une des droites /,,, est, par conséquent: 2304 — 3 X 16 — 12 X 

 32 - - G X 48 — G X 2 S X 4 = 912, ce qui donne 912 noeuds 

 de la courbe b en dehors des points S. En chaque point S, une 

 droite /,, est tangente d'inflexion de quatre branches de la courbe 

 b, d'où il résulte, que chaque point S doit compter pour dix-huit 

 noeuds de la courbe b. Le nombre total des noeuds de la courbe b 

 est donc: 912 -\- G X 18 = 1020, résultat conforme à que celui, 

 nous avons trouvé au moyen des formules de Plucîcer. 



Remarquons encore, que par le point Z il passe trente-six bran- 

 ches de la courbe b et que le point Z est un point d'inflexion de 

 chacune de ces trente-six branches (§ 47). 



CHAPITRE V. 



Focales de quklques courbes rationnelles. 



Section 1 . 



Focale de la cubique de la quatrième classe. 



§ 50. Des droites &■ La courbe d s étant de la quatrième 

 classe, elle possède un noeud <J. Examinons, si la présence d'un 

 noeud è fournit en effet une droite w de la surface (§ 17). 

 Soient /, et t 2 les deux droites tangentes aux brandies b { et b., 

 de la courbe d. d , en le point <J; soient lî { et Ma les deux points, 

 où ces tangentes rencontrent la droite z. Si les droites polaires des 

 points R x et Jl.,, par rapport à. la conique c 2 , rencontrenl cette 

 conique en les points P l , 1\,, P 3 et P 4 , les droites è l\ , 3/'.,, 

 SPo et S P À seront des droites / et seront les seules droites l, qui 

 passent par le point S. Par chacune de ces quatre droites /, il ne 

 passe qu'une seule nappe de la surface O. En effet, supposons 

 qu'une de ces quatre droites, par exemple la droite S l* x , soit une 

 droite «. Les deux plans o tangents à la surface O, le long delà, 

 droite o>, doivent passer tous les deux par la tangente à la conique 

 i\, en le point l\ ; donc, ces deux plans doivent coïncider. 

 Alors devront coïncider également les deux tangentes en le point 

 ê aux intersections avec le plan II des deux nappes, qui passent 



