FOCALES DES COUEBES PLANES ET GAUCHES. 51 



par lu droite; w; par conséquent, les deux nappes de la surface 0, 

 qui passent par la droite; w, doivent passer par la même branche 

 b { de la courbe d s , tangente à la droite L. Pour e[ue les deux 

 nappes, passant par la branche à l , se coupent encore suivant une 

 droite / qui passe par le point à , il faut que la tangente ^ rencontre 

 la conique c 2 , s'il en était ainsi cette droite /, serait une droite 

 /,„ simple et le noeud <J serait un point /3 (§ 21). D'où il résulte 

 que la présence d'un noeud ê ne fournit pas nécessairement une 

 droite w de la surface 0. Or, si la droite J l\ coïncide avec la 

 tangente à la conique <:, en le |)oint J\ il se pourrait que le 

 noeud è de la courbe d fournît une droite w, puisqu' alors on ne 

 peut pas arriver à la conclusion que les deux plans o doivent coïn- 

 cider. Si la droite $P X coïncide avec la tangente en le point /' à 

 la conique c 2 , le noeud è se trouve dans le plan V et on verra 

 dans un des chapitres suivants qu'à cette condition, le noeud S 

 fournira deux droites eu. 



Le raisonnement précédent tombe encore en défaut si les bran- 

 ches b } et b., sont tangentes à une même droite / { , puisqu' alors 

 il se pourrait que les deux nappes, passant par la droite «, cou- 

 pent le plan W suivant les branches b { et b.,. 



Nous verrons dans un chapitre suivant (pie la présence sur la courbe 

 (/, de deux; branches qui se touchent (singularité qui équivaut à deux 

 noeuds ordinaires) donne lieu à deux droites w de la surface (). 

 On peut encore trouver de la manière suivante les conditions sous 

 lesquelles des quatre droites /, passant par un noeud <? de la courbe 

 d, il en coïncide deux, de manière à foi-mer une droite; w- 



Deux de ces droites coïncident si, des quatre points P x , /'., 

 P. à et P 4 situées sur la conique c 2 , deux se confondent. 



Ce qui arrive: 1° si une des tangentes f { ou /., rencontre; la 

 conique e.,\ toutefois les elroite's coïncidentes seront deux droites 

 consécutives et ne formeront pas de droite o>; 2° si les deux points 

 R. et Ra coïncident, ('es deux points l,' { et /'., coïncident: 1° si 

 les deux tangentes / { et /,, coïncident, 2° si le point de' rencontre 

 de ces deux tangentes, savoir le noeud S se trouve dans le plan /. 



Si la courbe d est une; cubique de la quatrième classe n'occu- 

 pant pas ele position particulière, elle n'a [tas deuix branches, qui 

 ont la même tangente en un point commun et h; noeud ne' sera 

 pas situé elans le- plan /'; donc la surface O n'aura pas ele géné- 

 ratrice double w, ou u = 0. 



§ 5 1. Détermination des singularités de lu développable 0. La 

 section de la surface O par le; plan //' consiste en la cubique d.,, 



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