52 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



qui est une courbe noclale et en les deux fois quatre droites /„, , 

 tangentes à, la cubique r/ 3 , qu'on peut mener par les points I et 

 J; donc: r = 2 X 3 + 2 X 4 = 14. 



La section de la surface O par le plan V consiste en la conique 

 r„, qui est une courbe quadruple, et en les trois fois deux droites 

 /,,, tangentes à la conique c 2 , qu'on peut mener des points A*, 

 A 2 et A 3 , où la courbe d. d rencontre le droite z\ donc: 



r = 4 X 2 -f 3 X 2 = 14. 



On trouve facilement: 



m = 8, a = 6, v = 0, 11=0, G = 0. (§§ 31 , 32). 



De ces valeurs z# = 8 , a, = 6 , r = 14, v = , &> = , H = , 

 C = on tire, au moyen des formules données au §33, # = 24, 

 w= 51, y = G7, /3= 38, // = 212, y = 12, i2 = 52, jp = 3. 



Les intersections de l'arête de rebroussement a avec le plan JF, 

 sont les points, où les huit droites l w touchent la cubique cL. Ces 

 points sont des points stationnaires /3 et comptent pour trois inter- 

 sections chacun (§21), ce qui donne vingt-quatre intersections. 

 Les vingt-quatre intersections de la courbe a avec le plan F" sont: 

 1° les six points a; 2° les six points -6', où les droites /,, touchent 

 la conique c 2 ; ces points sont encore des points /3 et comptent 

 pour trois intessections chacun (§21). 



Le degré de la cubique nodale est trois; la conique c 2 , étant 

 une courbe quadruple, est une courbe nodale du degré don/A;. Il 

 reste pour le degré de la focale: 



n= 51 — 3 — 12 = 36. 



Les trente-six intersections de la focale avec le plan IF sont: 

 1° les seize points, où les droites l w , passant par le point /, ren- 

 contrent les quatre droites l w , passant par le point J; 



2° les huit points J), où les tangentes /,„ rencontrent encore la 

 cubique; ces points sont des noeuds de la focale; 



3° le noeud S de la cubique; par ce point il passe deux bran- 

 ches de la courbe nodale oL; donc, par ce point il passe; quatre 

 nappes de la surface; par un point quadruple de la surface' () il 

 passe six branches de courbes doubles; donc, il passe par ce point 

 quatre; branches de la focale. 



Les intersections de la focale avec le plan /' sont: 



