FOGALKS DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 53 



1° les douze points, outre les points ./, où se rencontrent les 

 droites l v \ 



2° les six [joints S. par chacun desquels il passe deux branches 

 de la focale, qui v touchent la droite /,, (§ 36). 



On trouve facilement: i/ x = 7, t y 2 = 24; donc il reste//., =y — 

 y x — y% = 67 — 7 — 24 = 36 (§ 43). 



Le plan W est un plan //.; pour chacun des seize points de 

 la focale, où se rencontrent deux droites /„,; en outre il passe par 

 un point quelconque du plan // vingt plans // :j . Donc les cordes 

 de contact (directrices) enveloppent une; courbe de la dixième classe 

 ft 43). 



Le plan V compte pour douze plans //., , à cause des douze cou- 

 ples de droites l v , qui se rencontrent dans des points de la focale ; 

 donc, les intersections des plans //. { avec le plan ^enveloppent une 

 courbe de la vingt-quatrième classe. Le lieu des pôles de ces inter- 

 sections (par rapport à la conique c 2 ), on bien le lien des inter- 

 sections avec le plan V des tangentes /' à la focale, ou bien encore 

 la courbe h est du degré vingt-quatre. 



Les points de contact des huit droites /„, avec la cubique </., et 

 les six points de contact S des droites /„ avec la conique c 2 sont 

 des points station naires /3; donc il reste /S — S — G = 38 - 8 - 

 6 = 24 points /2 l , situés sur la. focale. 



Chaque droite / rencontre /• — 4= 14 --4= 1 autres droites 

 / non consécutives, dont une sur la cubique ûL et trois sur la 

 conique c 2 ; donc chaque droite / rencontre la focale six fois; /= 6. 



§ 52. Détermination de r. Le rang de la courbe nodale </.. 

 étant quatre et celui de la courbe quadruple r„ étant douze, il 

 reste pour le rang de la focale 52 1 — 12 = 3(3; donc r = 36. 



Autrement: considérons la développable À' dont les génératrices 

 /■ sont tangentes à la focale. La section de cette surface A' par le 

 plan V, consiste en les six droites /,, et en une courbe restante b. 

 Cette courbe est, comme on l'a vu au § précédent, du degré 

 vingt-quatre. On peut s'en assurer encore en déterminant le nombre 

 des points de la courbe /; sur une tangente quelconque de la 

 conique <:,. Cette tangente rencontre la courbe /; vingt-quatre fois, 

 puisque, par son point de contact avec la conique <•„ , il passe 



