56 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



quelques droites, dont, en général, aucune ne passe par le point 

 P x , donc, la droite P x k n'est pas une génératrice stationnaire v 

 et le point y. doit être le point, où la génératrice ordinaire % P x 

 touche l'arête de rebrousseraent a. 



De même, la droite P., k est tangente à l'arête de rebroussemcnt 

 a en le point k et, par conséquent, le point >c est un noeud H 

 de la courbe a. 



Ce raisonnement tombe en défaut si le plan V passe par la droite 

 Pi k, puisque chaque plan, passant par une génératrice stationnaire 

 v, coupe la développablc O suivant une courbe avec laquelle la 

 droite v a un contact de l'ordre trois et que l'intersection ne pré- 

 sente plus de point stationnaire sur la droite v {Cremoua-Ciirtze, 

 Oberflachen p. S3). 



Donc, si le point stationnaire n est situé sur la droite z il est 

 possible (pie, par ce point, il passe deux génératrices stationnaires 

 v. Nous verrons dans un chapitre suivant, (pie la courbe d ayant 

 cette position particulière, la surface O possède en effet deux 

 droites v. 



Sur la développablc 0, le point k, de la courbe d, est un point 

 quadruple parce que ce point k est un noeud II de la courbe a. 

 Par ce point il passe six branches de courbes doubles, dont deux 

 sont les deux branches de l'arête de rebroussemcnt a et deux autres 

 les deux branches de la courbe d. Par le point k, il passe encore 

 deux branches de la courbe nodale, qui doivent appartenir à la 

 focale. Comme les plans tangents aux quatre nappes de la surface 

 coïncident deux à deux les quatre branches nodales seront toutes 

 tangentes à la droite d'intersection des deux plans tangents, savoir, 

 la tangente à la courbe d en le point ». Par conséquent, le point 

 k est un point stationnaire de la focale, et la tangente à la focale 

 on ce point, coïncide avec la tangente l à la courbe d en le point ». 



§ 55. Détermination des singularités de la surface 0. La sec- 

 tion de la surface O par le plan IP consiste en la cubique d.,, 

 qui est une courbe nodale et en les deux fois trois droites /„, tan- 

 gentes à la cubique c/.,, qu'on peut mener par les points / et d\ 



dune: /■ = 2 X 3 + 2 X 3 = 1 2. 



La section par le plan V consiste en la conique r 2 , qui est une 

 courbe triple et en les trois fois deux droites /,,, tangentes à la 

 conique c, qu'on peut mener par les points A-, , A z et ./ r On 

 trouve facilement: m = 6, a, = 2, u = 0, v = 0, G = 0, üT== 1 

 m 31, 32, 54). 



