FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 57 



Au moyen des formules de Cayley-Pliicker on trouve alors: 

 u = 20 , x = 33, y = 47, /3 = 30, // = 138, // = 6 , p = 2. 



Les vingt points d'intersections de l'arête de rebroussement a 

 avec le plan W sont 1° les points de contact des six droites /„. 

 a\cc la cubique c/ ;j ; ce sont des points /3 et ils comptent pour 

 (rois intersections chacun (§21), 2° le point y. qui est un noeud 

 H de la courbe a. 



Les points d'intersections avec le plan V sont: 



1° les deux points a-, 



2° les six points de contact S des droites /„ avec la conique c 2 . 



On trouve facilement ,/ 1 = 0, //,_, = 14; donc, il reste y 3 27. 

 (§ 43). 



Le plan W étant un plan i/. A pour chacun des neuf points de 

 la focale où se rencontrent deux droites /,„, il passe en outre par 

 un point quelconque du plan W dix-huit plans y s . Donc les cordes 

 de contact (directrices) enveloppent une courbe de la neuvième classe. 



Le plan V compte pour douze plans y B , pour les douze couples 

 de droites /„ qui se rencontrent dans des [joints de la focale; donc, 

 les intersections des plans y s avec le plan /^enveloppent une courbe 

 de la quinzième classe. Le lieu des poles de ces intersections (par 

 rapport à la conique c 2 ), ou bien le lieu des intersections destan- 

 gentes /' à la focale avec le plan V , ou bien encore la courbe />, 

 est de l'ordre quinze. 



Les points de contact des six droites l w avec la cubique d 3 et 

 les six points de contact S des droites /„ avec la conique c„ sont 

 des points stationnaires (2; donc, des trente points stationnaires /3 

 il y en a dix-huit, qui sont situés sur la locale; ou bien /3j = Is. 



Chaque droite / rencontre /■ — 4=12 — 4 = 8 autres droites 

 / non consécutives, dont une sur la cubique <L 6 et deux sur la 

 conique c 2 , donc chaque droite /rencontre la focale cinq fois; /= 5. 



§ 56. Détermination des singularités de la focale. La cubique 



d„ est du degré trois, la conique c 2 étant une courbe triple est 

 de l'ordre six; donc, il reste pour le' degré de la focale: n= 33 - 

 3 — G = 21. 



Les vingt-quatre points d'intersection de la focale avec le plan 

 IF sont: 1° les neuf points, où les trois droites /,„, passant parle 

 point I, rencontrent les trois droites /,,, qui passent par le point 

 J; 2° les six points I) où ces tangentes /,„ rencontrent encore la 

 cubique û? 3 ; ces points sont des noeuds de la focale, donc ils comp- 

 tent double; 3° le point k, qui est un point stationnaire /3, dont 



