58 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



la tangente se trouve dans le plan W\ donc, ce point compte pour 



trois intersections. 



Les intersections de la focale avec le plan V sont: ]° les douze 

 points outre les points A, où se rencontrent les droites l u \ 2° les 

 six points S par chacun desquels il passe une branche de la focale 

 laquelle y touche une droite /,, (§ 3G). 



Détermination de r 



H = r (m -f 6) - 3 » - - 9 m - - '3 v - - 2 G, 



S==^12(6 + 6)--3X20--9X6--3X0--2X0 s 



R = 144 — GO - - 5 i = 30; (/£ Pöscö/ II p. 322). 



Le rang de la courbe nodale c/ 3 étant trois et celui de la combe 

 triple Co étant six, il reste pour le rang de la focale 30 — 3 — 

 6 = 21; donc: r = 21. 



Autrement: considérons la développable K dont les génératrices 

 /• sont tangentes à la focale. La section de cette surface K par le 

 plan V , consiste en les six droites /„ et en une courbe restante b. Cette 

 courbe b est, comme on l'a vu au § précédent du degré quinze. 

 On peut s'en assurer encore en déterminant le nombre des points 

 de la courbe b sur une tangente quelconque de la conique c 2 . 

 Cette tangente rencontre la courbe b quinze fois, puisque, par son 

 point de contact avec la conique c 2 , il passe trois droites / sur 

 chacune desquelles se trouvent cinq points de la focale, / étant 

 cinq. (§§ 44, 55). 



Les trente points de rencontre des courbes b et e. 2 sont: 1° les 

 six points 8, où la courbe b touche la courbe c 2 ; 2° les dix-huit 

 points, où les tangentes à la focale en les points (2 l rencontrent la 

 conique c 2 . 



La section de la surface K, par le plan V, étant composée de 

 la courbe b du degré quinze et des six droites /,., qui sont des 

 génératrices k simples, cette section est du degré vingt-et-un; donc 

 )_= 21. 



Détermination de /3. 



A = n (r + 4) — 6 (r -f- /3) -- 4 (« H - //) — 2 v. 



A= 20(12 + 4)— 6(12 + 30)- 1(0 -f- l)--2 X () - 



A = 20.16 --6.42 -4 = 4(80 - 63 — 1) = 64. 



Les points a et S comptent pour 2 \ i -f- () X 3 = 20 inter- 

 sections de la courbe a avec une nappe de la surface ; donc, il 



