FOCALES DES COTJKBES PLANES ET GAUCHES. (3 1 



chacun desquels la courbe s touche la cubique d 3 (§48); 3° les 

 six points D, qui sont des noeuds de la focale et des points sta- 

 tionnaires de la section s • la tangente à la courbe S ne coïncidant 

 pas avec la tangente à la cubique d.^, chacun tic ces points compte 

 pour deux intersections; 4° les neuf points par chacun desquels il 

 passe deux droites h, tangentes à. la locale en des points station- 

 nantes jöj de la courbe a. 



Le plan W n'est pas un plan o et par chaque tangente «à la 

 courbe s, il passe deux plans o ; donc, v" = m : 2 — 18. 



Des vingt-quatre points où la focale rencontre le plan W (§ 55) 

 il n'y a que les six points D, qui donnent des points stationnaires 

 sur la section £ (§, 48); donc, y/' = 0. 



Les neuf plans a, qui sont oscillateurs en les points d'intersec- 

 tion de deux droites /,„ ne coupent pas le plan //' suivant des 

 tangentes d 'inflection de la section s. 



Par chaque tangente d'inflexion de la section .s il passe deux 

 plans stationnaires &; donc, /" == x j,, (a, — 9) = l L (09 - 9) = 30. 



La courbe nodale de la surface K est du degré cent cinquante- 

 six, cette courbe se décompose en la courbe .s- et en une courbe 

 restante, du degré 146. Cette courbe rencontre le plan //'; 1° trois 

 fois dans chaque point D; 2° deux fois dans chacun des huit points, 

 OÙ la tangente t rencontre en plus la section s ; 3° une fois dans 

 chacun des points, où un des quatre plans doubles G passant par 

 le point Z, touche la section s. Le nombre de fois que la courbe 

 rencontre la section a en des noeuds de cette section est donc: 

 146 — 6 X 3 — 8 X~2 — 4 = 108. Par chaque noeud de la 

 section s, il passe quatre branches de la courbe, donc le nombre 

 de noeuds est vingt-sept; <T = 27. Ces valeurs /*" = 10, v' = 18, 

 x" = 8, t" = 30, è" = 27 satisfont aux relations de Plitcker; ou 

 en déduit: t" =103, p" = 3. 



Section III. 

 Focale d'une courbe du degré quatre et de la classe trois. 



§ 59. Des tangentes doubles de la courbe donnée d. Nous avons 

 vu au §15 que la développable O pourrait posséder un plan double 



G si la courbe d possède une bitangente r. 



Soit 11 le point, où cette bitangente r rencontre la droite z, 

 soient P 1 et P 2 les deux points, où la polaire du point R , par 

 rapport à la conique c 2 , rencontre cette conique <■„ , et soient Q i 

 et Q les deux points, où la droite r est tangente à la courbe d. 

 Les droites l\ (J { et /', Q 2 sont deux des droites /, qui passent 



