02 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



par le point P x . Le plan (P l r) est le plan o, tangent à, la dé- 

 veloppable O le long de la droite P x Q { aussi bien que le long 

 de la droite P x Q 2 . Donc, ce plan (P x r) est un plan G, il en 

 est de même pour le plan (P 2 r); par conséquent, par une droite 

 bitangente à la courbe d, il passe deux plans G. 



Les deux nappes de la surface 0, qui passent par les droites 

 P x Q { et P { Q 2 , ont en le point commun P x , le même plan tan- 

 gent, savoir: le plan (P x r). Ces deux nappes se coupent suivant 

 deux branches de la courbe nodale, une branche est la conique c 2 , 

 l'autre branche appartient à la focale. 



Il en est de même pour le point P 2 et, en général, nous aurons: 

 par chaque point, où un plan G est tangent à la conique <\, il 

 passe une branche de la focale. 



§ GO. Détermination des singularités de ta surface O. Déter- 

 minons, comme exemple, la focale d'une courbe d* du degré quatre 

 et de la classe trois. 



Les singularités de cette courbe d 4 sont: 



//. = 4 , v = 3 , è = , k = 3 , / = , r = 1 , p = , d'où 

 on déduit: G = 2 r = 2, m = 2 v = 6, a = 2 i = (§ 31), v=0, 

 11= 3 (§§ 32, 54), w = (§§ 3:2, 50). 



La section de la surface O par le plan W , consiste en la courbe 

 d A , qui est une courbe nodale et en les deux fois trois droites /,„ 

 tangentes à la courbe r/ 4 , qu'on peut mener par les points /et/; 

 donc r = 2 X 4 + 2 X 3 = 14. 



La section de la surface O par le plan V consiste en la conique 

 c 2 , qui est une courbe triple, v étant trois, et en les quatre fois 

 deux droites /„, tangentes a la conique c 2 , qu'on peut mener par 

 les quatre points A, où la courbe d 4 rencontre la droite z\ donc: 



r = 3 X 2 + 4 X 2 = 1 4 - 



Des singularités déterminées, on tire, au moyen des formules 

 données au % 33, n = 24, x =52, = 36, y = 70. 



Les vingt-quatre points d'intersection de l'arête de rebroussement 



a avec le plan )V sont: 1° les six points, où les droites /„, tou- 

 chent la courbe d.\ ces points sont des points stationnaires /3 et 

 comptent pour trois intersections chacun (§21); 2° les trois points 

 stationnaires y, de la courbe r/ 4 ; ces points sont des noeuds // de- 

 là courbe a (§ 54). 



Les vingt-quatre points d'intersection de l'arête de rebroussement 

 a avec le plan V sont les huit points 8, où les droites l u touchent 

 la conique c 2 , ces points étant des points /3, ils comptent pour 

 trois intersections chacun. 



