FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 03 



Les points de contact S des huit (Imites /,, et les six points de 

 contact des droites I ir avec la courbe d,, sont des points /S; donc 

 Av> trente-six: points stationnaires (2, il y en a vingt-deux, qui 

 sont situés sur la focale, on bien: (3 { = 22. 



On trouve facilement y, = 7, ?/.> ==18, donc il reste y 3 = 15 

 (§ t3). Le plan // 7 étant un plan // ;i pour chacun des neuf points 

 C, où se rencontrent deux droites l wf il passe, en outre, par chaque 

 point du plan IF, trente-six plans // 3 ; donc, les cordes de contact 

 (directrices) enveloppent une courbe de la classe dix-huit. 



Le plan V étant un plan y. à , pour chacun des vingt-quatre 

 points B, où se rencontrent deux droites /,,, il passe, en outre, 

 par chaque point du plan V vingt-et-un plans //. t ; donc la courbe 

 h est du degré vingt-et-un ($ 43). 



Chaque droite / rencontre r — 4 = 10 autres droites / non 

 consécutives, dont une sur la courbe d 4 et deux sur la conique c« ; 

 donc, chaque génératrice rencontre la focale sept fois ou 1=1. 



§ 61. Détermination des singularités de In focale. Détermina- 

 tion de u. La courbe d 4 est du degré quatre, la conique c«, étanl 

 une courbe triple, est de l'ordre six; donc, il reste pour le degré 

 de la focale: ,v — 4 — 6, ou n = 42. 



Les quarante-deux points d'intersection de la focale avec le plan 

 // sont: 1° les neuf points C, où se rencontrent deux droites /„,; 

 2° les douze points D où les tangentes /,„ coupent la courbe d 4 ; 

 ces points sont des noeuds H de la focale; 3° les trois points y. 

 de la courbe d»\ ces points sont des points stationnaires /3 de la 

 focale et comptent pour trois intersections chacun (§ 54). 



Les points d'intersection de la locale avec le plan //" sont: 1° 

 les vingt-quatre points B, où se rencontrent deux droites /,, ; 2° les 

 huit points S, où la focale est tangente au plan /' (§ 36); 3° les 

 deux points l\ et l\, (§ 59). 



Détermination de r. La section de la surface A par le plan V 

 consiste en les huit droites /,, et en la courbe l>. 



La courbe b rencontre chaque tangente à la conique c, , vingt- 

 et-une fois, puisque par son point de contact, avec la conique /:_,, 

 il passe trois droites /, sur chacune desquelles se trouvent sept 

 points de la. focale, / étant sept (^§ 44, 00). La section de la 

 surfaoe K par le plan V, étant composée des huit droites /,., qui 

 sont des génératrices k simples et de la courbe /;, qui est du degré 

 vingt-et-un, cette section est du degré vingt-neuf; ou r = 29. 



