64 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



Autrement. La section de la surface K par le plan W consiste 

 en les trois tangentes à la courbe d 4 en les points stationnaires y. 

 et en une courbe double s (§58). Cette courbe double s rencontre 

 la courbe d± cinquante-deux fois, savoir: 1° trois fois dans chacun 

 des trois points k; 2° deux fois dans chacun des douze points D, 

 lesquels sont des points stationnaires de la courbe s; 3° deux fois 

 dans chacun des quatre points A, la courbe s étant tangente à la 

 courbe d 4 en chacun de ces points. La section est donc composée 

 de trois droites, génératrices simples, et d'une courbe double du 

 degré treize; donc, >• = 3 -f- 2 X 13 = 2 9. 



Détermination de m et de fi. La classe m de la développable À 

 est la moitié du nombre de ses plans tangents o, qui sont à la 

 fois tangents à la conique c 2 . 



Ces plans tangents communs sont: 1° les huit plans o, passant 

 par les droites l v ; ces plans sont des plans o (§ 3 G) et comptent 

 pour trois plans tangents communs chacun (§45), 2° les plans o 

 qui sont oscillateurs à la focale en les points stationnaires fi, pro- 

 venant de la singularité A. Soit fi le nombre total de points sta- 

 tionnaires fi de la focale, parmi ce nombre /3 de points, se trouvent 

 les trois points # de la courbe d 4 (§ 54). Les plans oscillateurs de 

 ces trois points ne sont pas tangents à la conique c 2 ; donc, 



*» = 4 {SX H-ê-3} (A). 



Des formules de Cayley-Pliicker , on tire la relation: 



fi = 3 (n_ — r) -f m -\- v_ (B). 



On a vu que n = 42, r== 29 et v=0 (§46); si l'on substi- 

 tue ces valeurs, la relation B devient: 



/3 = 39 -\- m (C). 



Des relations A et C on déduit: y// = GO, fi = 99. 

 Une fois les singularités n, r, m, v et fi connues on trouve 

 facilement les autres. 



CHAPITRE VI. 



Focale de la courbe im,ank d'ordre ,« et de position générale. 



§ G2. Détermination des singularités ordinaires de ta développable 

 O. Soit la courbe d une courbe plane possédant les singularités 



