FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 65 



à, k, t et / et D'occupant pas une position particulière, par 

 rapport au plan V ou par rapport aux points I et J. 



La section de la surface O par le plan W consiste en la courbe 

 d du degré //, laquelle est une courbe nodale, puisque chaque 

 tangente à la courbe d rencontre deux tangentes à la conique c 2 

 et en les deux fois v droites /„,, tangentes à la courbe d, qu'on 

 peut mener par les points / et J (§11); donc r = 2 /* -f~ 2 v. 



La section de la surface (J par le plan V consiste en la conique 

 c 2 , qui est une courbe multiple d'ordre v, puisque chaque tangente 

 à la conique c 2 rencontre v tangentes à la courbe d, et en //. fois 

 deux droites /,,, tangentes à la conique c 2 en les points S, qu'on 

 peut mener par les /x points A, où la courbe d rencontre le plan 

 V; donc, r = 2 v -f- 2 /*. 



La classe m de la surface O sera le nombre des tangentes com- 

 munes à la conique c 2 et à la projection d' de la courbe d sur le 

 plan V, un point quelconque de l'espace étant le centre de pro- 

 jection (§ 12). La projection d' étant, comme la courbe d, de la 

 classe v, le nombre de ces tangentes communes est 2v, donc 

 m = 2 v. 



De cette valeur m = 2 v il s'ensuit que, si la courbe ^ possède 

 une focale plane, cette focale sera de la même classe v que la 

 courbe d. 



Nous avons vu au §13 qu'un plan o peut devenir un plan 

 stationnaire et: 1° s'il coïncide avec un des plans V et W, 2° s'il 

 passe par une tangente d'inflexion / de la courbe d. Le plan V 

 n'étant pas tangent à la courbe d, n'est pas un plan o; de même, 

 le plan W n'étant pas tangent à la conique c 2 , ce plan n'est pas 

 un plan o non plus. Nous avons vu au §31, que par une tan- 

 gente d'inflexion il passe deux plans «; donc et = 2 /. 



Nous avons vu aux §§ 16 en 17 que la surface O pourrait pré- 

 senter une génératrice stationnaire v ou une génératrice double w, 

 si une des droites /,, ou /,„ était une droite double, ou si la 

 courbe d présentait un point double (rebroussement ou noeud). 



Les points A étant des points ordinaires de la courbe d, les 

 droites /,, ne sont pas des droites doubles; les droites /„, sont ('ga- 

 iement des génératrices ordinaires, puisque les points /et J n'occup- 

 pent pas une position particulière, par rapport à la courbe d (par 

 exemple, ces points ne sont pas situés sur une tangente d'inflexion 

 ou sur une tangente double de la courbe d). 



La courbe d présente des points douilles, mais nous avons vu 



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