66 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



aux §§ 50 et 54 que ces points doubles ne donnent pas des droites 

 v et w, à moins que ces points doubles ne soient pas situés sur 

 la droite z ou que ces points ne soient pas des points consécutifs 

 de la courbe d. La courbe d n'occuppe pas une position particu- 

 lière, donc: 



v= 0, a = 0. 



Nous avons vu au § 15, que pour que la surface O puisse 

 posséder un plan bitangent G, il faut satisfaire à une des condi- 

 tions suivantes, nécessaires niais peut-être pas suffisantes; 1° que 

 les plans V et W soient des plans o, 2° que la courbe d possède 

 une bitangente r, 3° que les deux courbes d et c 2 se rencontrent. 



La courbe d satisfait à la deuxième condition et nous avons vu 

 au § 59, que chaque bitangente r donne deux plans G; donc: 



G = % t = p 2 — jtt — v — 3 /. 



Nous avons vu au § 32 qu'il n'existe pas un noeud H de la 

 courbe a, situé en dehors des plans V et W, à moins que la 

 courbe d n'occuppe pas de position particulière par rapport aux 

 points I et J. Nous avons vu au § 54 que chaque point y, de la 

 courbe d est un noeud H de la courbe a; donc, 



Des 



sin 



gularités 



i déterminées 





r 



= 2(p- 



f v), 







m 



= 2», 









a. 



= 2/, 









v 



= 0, 









O) 



= 0, 









G 



= ^_ 



■ /a — v - 



-3 





H 



= 3 0» - 



-») + «. 





on déduit, au moyen des formules données au § 33, 

 n = 2 (3/*-+ /), 



X = 2 (/A 4- y) 2 — 1 /(A - - 2 V - - 3 <, 



y = 2 (/a -[- v) — 4 /a - -- 4 v 



/, 



/3 = 12 fi — 4 v -f 6 /. 



Chaque droite / rencontre r — 4 = 2 i u-|-2v — 4 autres droites 

 / non consécutives, dont une sur la courbe d et v — I sur la 

 conique c 2 \ donc chaque droite / rencontre la focale 2 jjl -\- v — 4 

 fois, ou bien: / = 2 ^ -|- v — 4. 



