FOCALES DES COUllBES PLANES ET GAUCHES. 67 



§ 63. Discussion de n, de y, de (2 et de A. Les 2 (3 /-t- — |— ;) 

 points d'intersection de l'arête de rebroussement a avec le plan W 

 sont: 1° les 2 i/ points de contact des tangentes /,„; ces points sont 

 des points stationnaires /3 et comptent pour trois intersections cha- 

 cun (§21); 2° les y. points stationnaires de la courbe d; ces points 

 sont des noeuds H de la courbe a et comptent, par conséquent, 

 pour deux intersections chacun (§ 54). Le nombre total des inter- 

 sections est donc 



2 v X 3 + k X 2 = 6 v + 6 O -- v) -f 2 i.= 2 (3 p -f ,). 



Les points d'intersection de la courbe « avec le plan V sont: 

 1° les 2 yu points A', qui comptent pour trois intersections chacun 

 (§21); 2° les points a, qui sont au nombre de 2 <. 



Des points stationnaires /3 de la courbe a, 2 v sont situés sur la 

 courbe d, savoir les points de contact de cette courbe avec les 

 droites /,„, et 2 fi de ces .points sont situés sur la conique c 2 , 

 savoir les points S; donc le nombre (2 { des points stationnaires de 

 la courbe a, situés sur la focale est: /3 — 2 //. • — 2 v donc; 



/3, = 10 p — « v -4- (i ,. 



Déterminons le nombre des plans >/ x , qui sont les plans y pour 

 lesquels les deux droites / situées dans un tel plan se rencontrent 

 dans un point de la courbe d. Soit B un point quelconque du 

 plan V, par ce point B il passe d'abord le plan V, qui compte 

 pour //, plans y x , parce que dans le plan V se trouvent ^ couples 

 de droites /, qui se rencontrent dans les points A de la courbe d. 

 Les points Q de la courbe d, dont le plan y x passe par le point 

 B, doivent être tel, que la polaire par rapport à la conique c 2 du 

 point R, où la tangente à la courbe d en le point Q rencontre 

 la droite z, passe par le point B. Cette polaire passe toujours par 

 le point Z, donc le point B doit être le pôle de la droite BZ, 

 par rapport à la conique c 2 . A un point R il correspond v points 

 Q, donc il passe en plus par le point B v plans y x , d'où. 



9l = p -j- v {% 43). 



On peut déterminer le nombre des plans y 2 , passant par un 

 point quelconque, lesquels sont les plans y, pour lesquels les deux 

 droites / qui sont situées dans un tel plan, se rencontrent dans un 

 point de la conique c 2 , en prenant pour le point quelconque un 

 point B quelconque situé dans le plan W. Les y droites /,„, qui 

 passent par le point / donnent \ (v 2 — v) couples de droites /, qui 



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