68 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



se rencontrent sur la conique c 2 ; il en est de même pour le point 

 /, donc le plan W compte pour v 2 — v plans y 2 . 



Nous avons vu au §43 qu'on obtient deux plans y 2 pour chaque 

 point B de la droite z, lequel satisfait à la condition , que le point 

 B se trouve sur une droite, qui joint deux des v points de con- 

 tact des tangentes à la courbe d, qu'on peut mener par le point 

 B. Le nombre de ces points est pv — |-(3 y -}~ *)> (J. C. -Kluyver 

 Nieuw Archief v. W. deel XVII). De ce qui précède il ressort que : 



y 2 = v 2 — v -\- 2 {pv — ^ (3 y -f- k)} = v À -f- 2 pv — v — 3 /-t — t. 



Le nombre de plans y 3 , passant par un point quelconque de 



l'espace , lesquels sont des plans y pour lesquels les deux droites /, 



situées dans un tel plan, se rencontrent dans un point de la focale 



est donc: y — y l — y 2 d'où y s = 2 p 2 -J- 2 fxv -j- v 2 ■ — 2 ft — 4 v. 



T i rr * 2/^(2^ — 2) , . , 2/^(2/^ — 2) 



Le plan r compte pour ' - — plansy 3 , a cause des ' v ' 



couples de droites l v , qui se rencontrent dans des points de la 

 focale; donc, les intersections des plans y 3 avec le plan V, enve- 

 loppent une courbe de la classe y 3 — /w. (2 fi — 2), ou bien de la 

 classe v (2 /-t. ~\~ v — 4). 



Le lieu des pôles de ces intersections, par rapport à la conique 

 c 2 , ou bien le lieu des intersections des tangentes k à la focale, 

 avec le plan V , ou bien encore la courbe b est du degré 

 v (2 //. -f v — 4). 



Dans le plan W sont situées 2 v droites l w , qui se rencontrent 

 dans les v 2 points C de la focale, donc, le plan W doit compter 

 pour v 2 plans y 3 . Par un point quelconque du plan W il passe, 

 par conséquent, 2 ft 2 -\- 2 yuv — 2 p — 4 v autres plans y g . Nous 

 avons vu au §43 que deux plans y 3 , appartenant à deux foyers 

 conjugués, passent par une même droite du plan W; cette droite 

 est la corde de contact des deux foyers conjugués avec la courbe d. 



Par conséquent, ces cordes de contact (directrices) enveloppent 

 une courbe de la classe //. 2 -f- \jm — p — 2y. 



A' = m (r -+- 4) - - 6 (r -f- et) -- 4 (« -f G) — 2 y, (E. Pascal IT Geo- 

 metria. p. 322); si l'on substitue dans cette formule les valeurs 

 des singularités trouvées au § 62 on trouve: 



A' = 4 fx (v — 2). 



On obtient un plan A' toute fois que la courbe a et une nappe 

 de la surface ont une tangente commune. Chaque droite l v touche 



en un point S à la courbe a et a y --2 nappes de la surface Ü; 



