FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. fi 9 



donc, une droite /„ compte pour 2 (v — 2) tangentes communes. 

 Par les 2 \i droites /,,, il passe, par conséquent, 4 fJ. (y — 2) plans 

 A'; donc, en dehors du plan V, il n'existe plus de point A', où 

 une droite / touche une nappe de la surface 0. Il en résulte que 

 la focale ne possède pas des plans ce, provenant de la singularité A'. 



§ 64. Détermination de ?i et de r. Le degré de la courbe d 

 étant jx et celui de la conique c 2 , qui doit compter pour ^ v (v — 1) 

 coniques doubles, étant v (y — - 1), le degré de la focale est: 



x — /x — v (y — 1); donc, 

 n = 2 |U 2 -|- 4 fiv -j- v 2 — 1 1 /je — v — 3 t. 



Les intersections de la focale avec le plan W sont: 



1° les v 2 points C, où les droites /„,, qui passent par le point 



1 rencontrent les droites /„,, qui passent par le point J ; 



2° les k points stationnaires de la courbe d; ces points sont des 

 points stationnaires |ö de la focale; la tangente à la focale en un 

 de ces points coïncide avec la tangente à la courbe d, donc, un 

 tel point compte pour trois intersections (§ 54); 



3° les è noeuds de la courbe d; ces points sont des points 

 quadruples de la focale (§ 51); 



4° les 2 y (fi — 2) points D, où les 2 v tangentes /„, coupent 

 la courbe d; chacun de ces points compte pour deux intersections, 

 parce que ce sont des noeuds de la focale (§ 35). 



Les points de la focale situés dans le plan II' sont donc au 

 nombre de v 2 -f- 3 k -{- 4 ê -|- 2 v O — 2) X 2 - 



Si l'on remplace dans cette expression les singularités ê et k par 

 leurs valeurs en fonction des singularités [i , v et t, l'expression devient 



2 [A. 2 -j- 4 fîv 4- v 2 — 1 1 ijl — • y — 3 ;, ce qui est bien la valeur 

 trouvée pour n. 



Les intersections de la focale avec le plan V sont: 



2 «. (2 n ■ 2) 



1° les - — w points B où se rencontrent deux droites /,, 



2° les 2 fi points S; par chacun de ces points S, il passe v - — :2 

 branches de la focale, qui y sont tangentes au plan V; 



3° les 2 t points G où un plan G touche la conique c 2 (§ 59). 

 Le nombre des points de la focale situés dans le plan P"estdonc: 



fi (2 ^_2)+2/a(i/ — 2)XH :2r = 



2 y, 2 -j- 4 fxv -\ v 2 — 11 f/. — v 3 t. 



