70 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



Détermination de r. R = r m -j- 6 r — 3 n — 9 m — 'S v — 2C 

 (E. Pascal II Geoinetria. p. 322), si l'on substitue dans cette for- 

 mule pour r, m, n, v et G les valeurs trouvées au § 62 , on obtient: 



R = 2 (2 fxv -{- v 2 — 2 /x — 2 v). 

 Le rang de la courbe d étant v et celui de la conique c 2 , qui 



y (y 1) 



est une courbe multiple, étant — ~ X 2, ^ reste pour le 



degré de la focale R — v ■ — ■ v (y — 1); donc, 



r = 4 [xv -\- v 2 — 4 fi — 4 v. 



Autre manière de déterminer r. Les droites /•, tangentes à la 

 focale, engendrent une développable K. La section de cette déve- 

 loppable K, par le plan V consiste en les 2 fx droites /,,, qui, étant 

 tangentes chacune k v — 2 branches de la focale, comptent v — 2 

 fois, et en une courbe restante d. Cette courbe b est, comme on 

 l'a vu au § précédent, de l'ordre v (2 [x -\- v — 4); donc: 



^=2 [x (y— 2) -f v(2nt + y- 4), 

 r = 4 fxv -}- v 2 — 4 jx — 4 v. 



On peut déterminer le degré de la courbe b aussi en considé- 

 rant le nombre des points de la courbe b , situés sur une tangente 

 quelconque de la conique c 2 . Cette tangente rencontre la courbe 

 b, v (2 [x -\- v — 4) fois, puisque par son point de contact avec la 

 conique c 2 , il passe v droites / sur chacune desquelles se trouvent 

 2 /x -4- v -- 4 points de la focale , / étant 2 fx -{- v — 4. (§§ 44 , 62). 



Troisième manière de déterminer r. La conique c 2 rencontre la 

 développable K, 



1° aux 2 fx points S; par chaque point # il passe v — 2 bran- 

 ches de la focale, laquelle est l'arête de rebroussement de la sur- 

 face K, ces branches y touchent la conique, donc un point S 

 compte pour (v — 2) X 2 X 2 intersections; 



2° aux 10 /x — 6 v -j- 6 / points où les droites / tangentes à la 

 focale et à la courbe a en les points fi l , rencontrent la conique c 2 ; 



3° aux v 2 — v ■ — ix — 3 t points G, où la focale rencontre la 

 conique c 2 ; ces points comptent doubles puisque la focale est une 

 courbe double de la surface K, 



4° aux points, où la conique c 2 rencontre une droite /, qui 



