FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 71 



touche la focale et provient fie la singularité A' ; nous avons vu au 

 § précédent que les points A' se réunnissent tous aux points S, 

 qui ont été déjà comptés sub 1°. 



Le rang de la surface K est la moitié du nombre de ces inter- 

 sections ; donc : 



rj=\ {S/x(i/ -- 2)-f 10/X-- (5 v -f 6/ + 2 v 2 — 2v — 2/x--0<], 

 r = 4 /a v -j- i/ 2 — 4 v — 4 v. 



Détermination de v. Par le même raisonnement que celui tenu 

 au § 46 on trouve v == 0. 



§ 65. Détermination de m et de /3. Chaque tangente à la courbe 

 b est l'intersection du plan V avec un plan o tangent à la surface 

 AT et chaque plan o tangent à la surface K coupe le plan V sui- 

 vant une tangente à la courbe b. Le plan V n'est pas un plan o, 

 puisque le plan /* ne coïncide pas avec un des plans o qui tou- 

 chent la surface À' le long des génératrices k, situées dans le plan 

 V ($ 30); donc, la classe m de la surface K est égale à la classe 

 de la courbe b. La classe de la courbe b est la moitié du nombre 

 des tangentes communes aux courbes c 2 , et b. 



Ces tangentes communes sont : 



1° les 2 \x droites /„; chaque droite l u est une tangente d'in- 

 flexion de v — 2 branches de la courbe b, le point d'inflexion 

 étant le point S où la droite /,, touche la conique c 2 ; donc une 

 droite /,, compte pour (y — 2) X 3 tangentes communes; 



2° les 2 i droites d 'intersection des plans a avec le plan V; cha- 

 cune de ces droites d'intersection touche la courbe b, 2 [>■ -f- v — 4 

 fois, puisque la droite / située dans le plan oc correspondant, ren- 

 contre la focale 2 [a -j- v - 4 fois, / étant 2 (i -f v — 4 (§ 62) ; 



3° les droites d'intersection du plan V avec les plans o oscil- 

 lateurs à la focale en les points stationnaires /3', qui proviennent 

 d'une singularité A non située dans un des plans V on //'; 



4° les droites d'intersection du plan V avec les plans A' pour 

 lesquels la tangente commune aux courbes a et ƒ n'est pas située 

 dans le plan V; ce nombre est zéro, comme on l'a trouvé au 

 § 63; donc: 



m = | { 6 (i {v — 2) + 2 ; (2 p -f v -- 4) -j-g 1 } (A). 



On obtient un point stationnaire de la focale à cause de la sin- 



