72 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



gularite A ou à cause de la présence d'un point stationnaire k sur 

 la courbe d (§ 54); donc: 



£ = i + ». (B). 



Des formules de Cayley-Plilcker on tire la relation : 



= 3 £ - -£) + M H- £. (C). 



Des formules A, B et C on déduit en tenant compte des valeurs 

 obtenus pour les singularités n, r, et v (§ 64): 



m = 2 [3 ii (p. + v -- 6) -f ; (2 p -f y — 9) -f 6 y] , 

 £ = 2 (3 /* + (2 /* + y) — 57 /* + 21 y — 27 /, 

 J' = 2 (3 fi -j- (2 ft, + y) — 60 fi -f- 24 y — 28 /. 



Pour vérifier ce résultat déterminons /3' an moyen de la formule 

 pour le calcul de A donnée par E Pascal II Geometria p. 322: 



A=»(f-f4)-6 (y -f- jS) — 4 (w -f H) — 2 y. 



Si l'on substitue dans cette formule les expressions trouvées poul- 

 ies singularités n, r, fi, H, w et v (§ 62), la formule devient 

 A = 4 f(3 /* -j- i) (j& -f v) — 18 j* -f 6 v — 8 <)• 



Les points A sont les points où l'arête de rebroussement a ren- 

 contre une nappe de la surface G. Parmi ces points de rencontre 

 se trouvent : 



1° les 2 t points a, situés sur la conique c 2 , où la courbe a 

 rencontre v — 2 nappes de la surface G ; 



2° les 2 fi points S, situés sur la conique c 2 , où la courbe a 

 rencontre également v — 2 nappes de la surface G, la courbe a 

 a de commun avec chacune de ces nappes, trois points, puisque 

 un point S est un point stationnaire (2 de la courbe a et parce que 

 la nappe qu'elle rencontre touche sa tangente en le point jS. 



Dans le plan W se trouvent aussi des points A, savoir les points 

 k de la courbe d, où deux branches de la courbe a rencontrent 

 chacune deux nappes de la surface G. Chaque point k compte, 

 par conséquent pour quatre points A. Dans la formule pour la 

 valeur de A on a déjà tenu compte de ces points A, savoir: dans 

 le terme — 4 /ƒ. 



Le nombre des points A non-situés dans les plans V et W est 

 donc : A — 2/ (i/ — 2) - - 2 fi (v — 2). 3. Chaque point A non situé 

 dans un des plans V et IV, donne un point stationnaire /3' de la 

 focale , donc : 



